模煳数学教学课件完整.ppt

数学建模多媒体课件,惠州学院数学系数学建模精品课,模糊数学绪论,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子高”，等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,共同特点：模糊概念的外延不清楚。,模糊概念导致模糊现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,产生,1965年,L.A.Zadeh(扎德)发表了文章模糊集(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353).,基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于高个子的程度为0.8,另一个人属于高个子的程度为0.3等.,模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支.,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐,课堂主要内容,一、基本概念,二、主要应用,1.模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类,模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵,例如,给出不同地方的土壤,根据土壤中氮磷以及有机质含量,PH值,颜色,厚薄等不同的性状,对土壤进行分类.,2.模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪一类模型.,例如：苹果分级问题苹果有I级，II级，III级，IV级四个等级.现有一个具体的苹果，如何判断它的级别.,3.模糊综合评判从某一事物的多个方面进行综合评价,例如,某班学生对于对某一教师上课进行评价从清楚易懂,教材熟练,生动有趣,板书清晰四方面给出很好,较好,一般,不好四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何.,4.模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊化,引入隶属函数,从而导出一个新的线性规划问题,其最优解称为原问题的模糊最优解.,模糊数学,1.经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,.u,A,A,.u,在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个,经典集合A，则必有uA或者uA，用函数表示为：,其中,函数cA称为集合A的特征函数。,非此即彼,亦此亦彼,U,模糊集合A,元素x,若x位于A的内部，则用1来记录，若x位于A的外部，则用0来记录，若x一部分位于A的内部，一部分位于A的外部，,则用,x位于A内部的长度来表示x对于A的隶属程度。,A,例如，现在我们假定讨论的对象为如下八人：,a，男，75岁；b，女，40岁；c，男，35岁；d，女，30岁；e，男，25岁；f，女，20岁；g，男，15岁；h，女，10岁.,论域记为：,在此论域上，“男性”这一概念的内涵是清晰的，其外延也是清晰的，可记为Cantor集(普通集合)：,然而在此论域上来讨论“青年人”这一概念，哪些人是“青年人”？只能模糊的非惟一的回答，我们无法用一个Cantor集表达该概念的外延，因此，“青年人”是一模糊概念.为了表达模糊概念的外延，就产生了模糊集合(FuzzySets).,2.模糊子集,定义：设U是论域，称映射,确定了一个U上的模糊子集。映射称为的隶,属函数，称为对的隶属程度，简称隶属度。,模糊子集由隶属函数唯一确定，故认为二,者是等同的。为简单见，通常用A来表示和。,越接近于0,表示x隶属于A的程度越小；,越接近于1,表示x隶属于A的程度越大；,0.5,最具有模糊性，过渡点.,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,(1)Zadeh表示法,不是分式求和，只是一个符号“分母”是论域X的元素“分子”是相应元素的隶属度当隶属度为0时，该项可以不写入,例1.有100名消费者，对5种商品x1,x2,x3,x4评价，,结果为：81人认为x1质量好，53人认为x2质量好，,所有人认为x3质量好，没有人认为x4质量好，24人,则模糊集A=质量好,认为x5质量好,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,例2.考虑年龄集U=0,100，O=“年老”，O也是一个年龄集，u=20O，40呢？不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样,札德给出了“年老”集函数刻画:,则模糊集O（年老）,3.模糊集的运算,设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,例3.,则：,0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,并交余计算的性质,1.幂等律,2.交换律,3.结合律,4.吸收律,6.0-1律,7.还原律,8.对偶律,5.分配律,几个常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘积算子,（3）环和、乘积算子,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘积算子,（6）Einstain算子,4.隶属函数的确定,I.模糊统计法,模糊数学的基本思想是隶属程度的思想，应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数，下面介绍几种常用的确定隶属函数的方法：,它是一种比较客观的方法，主要是基于模糊统计实验的基础上，根据隶属度的客观存在性来确定的。,模糊统计试验的四个要素：,（1）论域U；,（2）U中的一个固定元素u0;,（3）U中的一个随机运动集合A*;,（4）U中的一个以A*作为弹性边界的模糊子集A,制约着A*的运动。A*可以覆盖u0;也可以不覆盖,u0致使u0对A的隶属关系是不确定的。,特点:在各次试验中,u0是固定的,而A*在随机变动。,模糊统计试验过程：,（1）做n次试验，计算出,（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为u0,对A的隶属度：,u0对A的隶属频率=,u0属于A*的次数,n,u0属于A*的次数,n,对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间,问年龄u0=27属于模糊集A(青年人)的隶属度。(P30),对年龄27作出如下的统计处理：,A(27)=0.78,(变动的圈是否盖住不动的点),II.指派方法,这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种,方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模,糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。,如果模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。,常用的模糊分布如表1.5(P33-35)所示。,实际运用中,为了便于操作,会根据问题对研究,对象的描述来选择适当的模糊分布.,一般会有一些大致的选择方向:偏大型,偏小型,中间型.,例如：在论域U=1,2,3,9中,确定A=“靠近5的数”的隶属函数.,中间型,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,先确定一个简单的，比如,此时有,A(4)=A(6)=0.5不太合理,故改变a.,取,此时有,比A(x)有所改善.,再取,此时有,比有所改善.,再取,此时有,与实际不符.,III.其它方法,二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。,德尔菲法：专家评分法；,借助于已有的“客观尺度”：例如，如果U表示家庭，在U上定义模糊集A“家庭贫困”，则可以用“Engel系数食品消费/总消费”作为隶属度。,5.模糊矩阵,例如：,定义：设R=(rij)mn,0rij1,称R为模糊矩阵。,当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵。,全称矩阵,模糊矩阵间的关系及运算,设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,例如：设,则,模糊矩阵的合成,设A=(aij)ms,B=(bij)sn,称模糊矩阵,为A与B的合成，其中。,设A为nn阶模糊方阵，则A的幂定义为,例如，设,则,模糊矩阵的转置,设A=(aij)mn，称A=()mn为A的转置矩阵，其,中=aji。,性质：,模糊矩阵的l截矩阵,设A=(aij)mn，对任意的l0,1,称,为模糊矩阵A的l截矩阵，其中,显然，截矩阵为Boole矩阵。,例如，设,则,截矩阵的性质：,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,特殊的模糊矩阵,定义：若模糊方阵满足AI，则称A为自反矩阵。,例如,是模糊自反矩阵。,定义：若模糊方阵满足AT=A，则称A为对称矩阵。,例如,是模糊对称矩阵。,定义:若模糊方阵满足A2A，则称A为模糊传递矩阵。,例如,是模糊传递矩阵。,定义：若模糊方阵Q，S，A满足,则称S为A的传递闭包，记为t(A)。,(1)SA(S2S),(2)QA(Q2S),总有QS，,在工程技术和经济管理中，常常需要对某些事物按照一定的标准(相似的程度或亲疏关系等)进行分类处理。对客观事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计的一种分类方法。然而，由于事物的类与类间并无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。,1.基本概念及定理,设R=(rij)nn是n阶模糊方阵，I是n阶单位方阵，,若R满足,则称R为模糊等价矩阵。,(1)自反性：R=I;(2)对称性：RTR;(3)传递性：R2R;,例如，设U=x1,x2,x3,则R为模糊等价矩阵满足：,R=I；RTR；R2R.,定理：R是n阶模糊等价矩阵,l0,1,Rl是等,价的Boole矩阵。,意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵,可以得到有限论域上的普通等价关系,而等价关系是可以分类的。因此,当l在0,1上变动时,由Rl得到不同的分类。,定理：设R是n阶模糊等价矩阵，则Rm所决定的分类中的每一个类是Rl所决定的分类中的某个子类。,0l0.700.630.620.53,取l=1,得,X被分成5类：,取l=0.7,得,取l=0.63,得,X被分成4类：,X被分成3类：,取l=0.62,得,取l=0.53,得,X被分成2类：,X被分成1类：,画出动态聚类图如下：,若利用直接聚类法,模糊相似矩阵,取l=1,此时分类自然为,x1，x2，x3，x4，x5。,取l=0.7,此时只有r24=0.7,x2与x4一类，其余的各一类，故分类应为,x1,x2,x4,x3,x5。,取l=0.63,此时只有r14=0.63,x1与x4一类,而前面已分x2与x4一类,合并公共元素x4,有公共元素x4的相似类为x1,x2,x4,其余的各一类,故分类应为,x1,x2,x4，x3，x5。,取l=0.62,此时只有r13=0.62,x1与x3一类,而前面已分x1,x2与x4一类,合并公共元素x1,有公共元素x1的相似类为x1,x2,x3,x4,其余的各一类,故分类应为,x1,x2,x3,x4,x5。,取l=0.53,此时只有r25=0.53,x2与x5一类,而前面已分x1,x2,x3与x4一类,合并公共元素x2,有公共元素x2的相似类为x1,x2,x3,x4,x5,故分类应为,x1,x2,x3,x4,x5。,模糊聚类分析的简要流程:,求传递闭包t(R),结束,IV.最佳阈值l的确定,在聚类分析中,根据不同的l可以确定不同的分类,而形成了一种动态聚类图,这就比较形象直观地了解样本的分类情况.但实际问题往往需要我们选择某个阀值l,确定样本的具体分类.这就提出如何确定阀值的问题.下面介绍两种方法：,(1)按实际需要，调整l的值，或者是专家给值。,(2)用F-统计量确定最佳l值,针对原