机械振动课件

第十一章简谐运动,图为我国返回式卫星开展环境等晶体研究用的搭载桶正在进行振动试验。,主讲：物理教研室张孟Email:dreamzh9527,简谐运动,教学要求1理解振幅、周期、相位、及谐振动的速度、加速度等概念；2深刻理解简谐振动的特征，建立谐振动方程并理解其意义；3理解简谐振动的旋转矢量法并用以分析讨论问题；4理解同方向、同频率的合成规律，了解相互垂直谐振动的合成；,机械振动：物体在一定位置附近所作的周期性的往复运动；振动：描述物质运动状态的物理量，在某一数值附近作周期性的变化。是物质的一种普遍的运动形式；简谐运动：最简单、最基本的振动，是各种形式振动的基础；,11-1简谐运动及其特征,一弹簧振子及其运动分析（理想模型）,弹簧振子的振动,平衡位置（O）：物体所受合外力为零的位置。,令,二简谐运动的特征,1运动特征,简谐运动判据（任一满足即可）,注：量x不局限于位移，它可以是角度、电量、电压、磁感应强度-广义的简谐振动,动力学特征,运动学特征,运动方程,当很小时（小于5）,单摆,单摆,2准弹性力,3能量特征,系统做简谐运动时，势能和动能相互转换，系统机械能守恒：,三常见的简谐运动,1竖直弹簧振子,例竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止位置拉下一段距离（在弹性限度内），然后放手任其运动。证明物体的运动是简谐运动。,证以平衡位置为坐标原点，向下为正方向建立坐标。,在任意位移y处,则物体的运动是简谐运动，且,在平衡位置处,讨论下列情况下系统的运动特征：,当角位移很小时（小于5),复摆,2复摆,一简谐运动方程,振动量x随时间t变化的函数关系，即x=x(t),11.2简谐运动的描述方法,1振动量x,任意时刻物体离开平衡位置的位移，x以平衡位置为参考点,2振幅A简谐运动物体离开平衡位置最大位移的绝对值，称做振幅（A）。,3周期、频率和角频率物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用T表示。,单位时间内物体所作的完全振动的次数叫做频率，用表示，单位Hz,角频率（又称圆频率），单位是rad/s。,注：周期和频率只和振动系统本身的物理性质有关。由振动系统固有属性所决定，因此叫固有周期和固有频率。,所以弹簧振子的周期为,频率为,例如，心脏的跳动80次/分,周期为,动物的心跳频率(参考值,单位:Hz),昆虫翅膀振动的频率（Hz）,雌性蚊子355415雄性蚊子455600苍蝇330黄蜂220,4相位初相位,相位（t+）：决定简谐运动物体的运动状态,初相位（）：决定初始时刻简谐运动物体的运动状态,5简谐运动的三个特征量,常数A和的确定,例一质点沿x轴作简谐运动，平衡位置在x轴原点，已知质点完成一次全振动的时间为0.63s，求下列情况下的振动方程。1）t=0时质点过原点，且朝x轴正向运动，速率为0.6m/s。2）t=0时质点过0.03m处，朝x轴负向运动，速率为0.6m/s。,解：,（1）,振动方程,（2）,振动方程,思考题:一何为简谐运动？下列运动是否简谐运动？1完全弹性球在硬地面上的跳动；小球沿半径很大的光滑凹球面滚动（设小球经过的弧线很短）；二把一单摆从其平衡位置拉开，使悬线与竖直方向成一小角度，然后放手任其摆动，如果从放手时开始计算时间，此角是否是振动初相？单摆的角速度是否是振动的角频率？,6简谐运动的能量,1)动能,2)势能,情况同动能。,3)机械能,简谐振动系统机械能守恒,由起始能量求振幅,由能量守恒推导简谐运动微分方程(将能量守恒式对t求导),势能曲线,例质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：,解（1）,（2）,（3）,由,二振动曲线,x=Acos(t+),1振动量x随时间按余弦（或正弦）规律变化，任一点斜率是振动速度v,2曲线的峰（或谷）对应的x值大小为振幅A,3t=0时振子位置决定了振动初相位,4振子经过一个周期完成一次振动，运动状态回到初状态，经过的时间为T,=(2t+2)-(1t+1),同相和反相,当=2k,(k=0,1,2,),两振动步调相同,称同相,当=(2k+1),(k=0,1,2,),两振动步调相反,称反相,5振动曲线形象的展示出相位的超前或落后关系,相位差,超前和落后,若=2-10,则x2比x1较早达到正最大（小）,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。,注：超前、落后以小于的相位角来判断、说明,比较同一振动的x、v、a的相位关系,取,t+,y,t=t,t=0,x=Acos(t+),三旋转矢量法（参考圆法）,振幅矢量,t+：矢量A在t时刻与x轴正方向的夹角,：矢量A在t=0时与x轴正方向的夹角,：矢量A的旋转角速度,A：矢量A的模（长度）,T：矢量A旋转一周所需的时间,Acos(t+)：矢量A,t时刻在x轴上的投影,注：旋转矢量本身并不作简谐运动，我们是利用旋转矢量端点在ox轴上的投影点的运动，来形象地展示简谐运动规律的。,旋转矢量的应用,例求下列各振动的初相或相位。1）t=0时，且向x轴正向运动；2）t=0时，x=0，且向x轴负向运动；3）t时刻，且向x轴负向运动；4）t时刻，x=-A。,2由初相（相位）确定初始状态（t时刻的状态），求解振动方程并作振动曲线。,1由初始条件（t时刻的状态）确定初相（相位）,例如图，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数，物体的质量（1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；,（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.,（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；,解（1）,由旋转矢量图可知,解,由旋转矢量图可知,（负号表示速度沿轴负方向）,（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；,解,（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度求其运动方程.,因为，由旋转矢量图可知,例质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m，周期为4s，起始时刻物体在x=0.04m处，向x轴负方向运动，如下图所示，试求：,（1）t=1.0s时，物体所处的位置和所受的力；（2）由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间；,代入,解（1）,代入上式得,（2）由起始位置到处所需最短时间.,解一设由起始位置到处所需最短时间为,解二,起始时刻,时刻,11-3简谐运动的合成,一同方向同频率的简谐运动的合成,合振动:x=x1+x2,x=Acos(t+),合振动是简谐运动，频率仍为（三角函数）,1代数法,2旋转矢量法,结论：两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动,讨论：两种特殊情况,(1)若两分振动同相21=2k(k=0,1,2,),(2)若两分振动反相21=(2k+1)(k=0,1,2,),如A1=A2,则A=0,则A=A1+A2,两分振动相互加强,则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱,(1)相位差,(2)相位差,(3)一般情况,合振动,不是简谐振动,当21时2-12+1,随快变,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,x=x1+x2,二同方向不同频率的简谐运动的合成拍,分振动,x1=Acos1tx2=Acos2t,拍频：单位时间内强弱变化的次数=|2-1|,合振动忽强忽弱的现象拍,三两个相互垂直的同频率简谐运动的合成,质点运动轨迹,(1)或,（椭圆方程）,(1),(2),旋转矢量描绘振动合成图,四两相互垂直不同频率的简谐运动的合成,测量振动频率和相位的方法,李萨如图,11-4阻尼振动受迫振动,一阻尼振动,1振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。,2阻尼振动的振动微分方程,C阻力系数,阻力,振动系统的固有角频率,阻尼系数,3过阻尼、欠阻尼和临界阻尼,阻尼系数较小,在阻尼不大时，可近似地看作是一种振幅逐渐减小的简谐运动,(1)欠阻尼,若阻尼很大，即时，物体从开始的最大位移处缓慢地逼近平衡位置。,时，物体从开始的最大位移处快速地逼近平衡位置。,(2)过阻尼,(3)临界阻尼,二受迫振动,系统受力,弹性力-kx,振动方程,阻力,振动系统在周期性策动力作用下的振动,周期性策动力,令,振幅:,初相:,频率:等于策动力的频率,三共振,当策动力频率为某一定值时,受迫振动振幅出现极大值,振动剧烈的现象。,共振频率:,共振振幅:,19