初二竞赛进阶进度一四平路06 菱形童学生

1 / 11 第六讲 菱形 【菱形的定义】 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【菱形的性质】 具有平行四边形的所有性质 四条边都相等 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线 【菱形的判定】 四条边都相等的四边形 有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 有一条对角线平分一组对角的平行四边形 【菱形面积公式】 21 2 1 2 1 dddhS 菱形 （d为菱形的边，h为菱形的高； 21,d d为菱形对角线的长） 2 / 11 【菱形的性质】 【例题【例题1】 】 （1）两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形； （2）两条对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是菱形； （3）两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形； （4）两条对角线互相垂直且有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 上述 4 个命题正确的为_. 【例题【例题2】 】 （1）若菱形的两条对角线长为 6cm 和 8cm，该菱形的高为_. （2）已知菱形ABCD的周长为32cm，相邻两角之比是1:3，那么菱形对边之间的距离是 _，该菱形的面积是_. （3）已知菱形的一个内角为 0 120，周长为24cm，那么两条对角线的长分别为_，该 菱形的面积为_. （4）已知菱形的周长是16cm，面积为 2 8 3cm，则相邻的两个内角度数分别是_. （5）菱形的对角线之比是4:3，且周长为40cm，则菱形的面积为_. （6）已知菱形的锐角是 60，边长是 20cm，则较长的对角线长为_ 【例题【例题3】 】 如图，在菱形 ABCD 中，BAD=80，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，E 为垂足， 连接 DF，求CDF 的度数 3 / 11 【例题【例题4】 】 如图，在菱形 ABCD 中，已知 E,F 分别是 BC,CD 上的点.若 AE=AF=EF=AB，求C 的 度数. 【例题【例题5】 】 在菱形ABCD中， 100A，M、N分别是边AB，BC中点，CDMP 于P， 求NPC 的度数. 【菱形的判定】 【例题【例题6】 】 如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE=2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF=BE，连接 CF （1）求证：四边形 BCFE 是菱形； （2）若 CE=4，BCF=120，求菱形 BCFE 的面积 F D A E BC 4 / 11 【例题【例题7】 】 如图， 在ABCD中，BE平分ABC交AD于点E，DF平分ADC交BC于点F， BDEF.求证：四边形EBFD是菱形. 【例题【例题8】 】 如图所示，在ABC 中，90A，BD 平分ABC， BCAG 于点 G，且 BD、 AG 相交于点 E，BCDF 于点 F，试证明：四边形 AEFD 是菱形. 【例题【例题9】 】 如图，在矩形 ABCD 和矩形 BFDE 中，若 AB=BF，求证：CFMN DE CF A B 5 / 11 【综合运用】 【例题【例题10】 】 如图，ABC 中，点 P 是边 AC 上的一动点过点 P 作直线 MNBC, 设 MN 交BCA 的 平分线于点 F. (1)求证：PE=PF (2)当点 P 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 可能是菱形吗？说明理由. 6 / 11 【例题【例题11】 】 如图， 已知ABC 的面积为 3， 且 AB=AC,现将ABC 沿 CA 方向平移 CA 长度得到EFA. （1）求ABC 所扫过图形的面积； （2）试判断 AF 与 BE 的位置关系，并说明理由； （3）BEC=15，求 AC 的长. 7 / 11 【例题【例题12】 】 如图，菱形 OABC 绕 O 顺时针旋转 90，得四边形CBOA，已知 120A，OA=1， 由 BB 、AB、 AC ，CB 围成面积为 S，求 S. 【例题【例题13】 】 如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、 N 分别是边 AB、BC 的中点，求PNPM 的最小值 【例题【例题14】 】 如图，在一张长 12cm，宽 5cm 的长方形纸片内，要折出一个菱形.李杰同学按照取两组 对边中点的方法折出菱形 EFGH（见方案一） ，张红同学沿长方形的对角线 AC 折出CAE=DAC， ACF=ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二）.请你通过计算，比较两名同学的折法中，哪种菱 形面积较大？ MN AC B D P 8 / 11 【例题【例题15】 】 如图，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一直线上，P 是线段 DF 的中点，连 结 PG，PC.若ABC=BEF =60，求 PC PG 的值. 【例题【例题16】 】 如图，在四边形 ABCD 中，ADC=90，AC=BC，ACB=45，E、F 分别是 AC,AB 的中点，且DEA=45，BGAC 于 G.（1）求证：四边形 AFGD 是菱形； （2）若 AC=BC=10cm， 求菱形的面积. P F G C D A B E G F E D C B A 9 / 11 【例题【例题17】 】 如图，菱形 PQRS 内接于矩形 ABCD，使得 P、Q、R、S 为 AB、BC、CD、DA 上的内点. 已知 PB=15、BQ=20、PR=30、QS=40、若既约分数 n m 为矩形 ABCD 的周长，求 mn. 10 / 11 【作业【作业1】 】 已知菱形 ABCD 的