2020高考数学备考：三角形的“外心”知识点总结

外心外心 1、外心的概念： 三角形三条边垂直平分线的交点称为三角形的外心， 如图所示： （1） 钝角三角形的外心在三角形外； （2） 直角三角形的外心在斜边上，且刚好与斜边中点重合； （3） 锐角三角形的外心在三角形内. （4） 三角形三条垂直平分线（中垂线）交于一点. 【问题】如图所示，在中，边 BC、AC的垂直平分线交于点O，连接OF， 求证：OF是边AB的垂直平分线. 【证明】连接OA、OB、OC，如图所示： 分别是AC、BC的垂直平分线， 锐角三角形的外心 直角三角形的外心 钝角三角形的外心 O O O B A A C B C A C B O F D E A C B O F D E A C B 2020高考数学备考：三角形的“外心”知识点总结2020高考数学备考：三角形的“外心”知识点总结 1 OF是边AB的垂直平分线（垂直平分线上的点到线段两边的距离相等）. 2、外心的性质 性质性质1、三角形的外心到该三角形三个顶点的距离相等. 【问题】如图所示，已知点O是的外心，求证：. 【证明】过点O作AB、AC的垂线分别交AB于点D，交AC于点E， 由外心的概念可知OD、OE分别是边AB、AC的垂直平分线， 性质性质2、若点O为的外心，则（为锐角）或 （为钝角）. 【问题】在锐角中，已知点O是的外心，求证：. O A B C ED O A B C 2 【证法一】连接OA，如图所示： 是的外心， 【证法二】作出的外接圆，如图所示： O A B C O A B C 3 由图示得，（同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍） 【 问 题 】 在 钝 角中 ， 已 知 点O是的 外 心 ， 求 证 ： . 【证明】连接OA，如图所示： O A B C O A B C O A B C 4 由性质1得， 性质性质3、外心与顶点的连线与其中一边的夹角与该边所对的角互余. 【问题】如图所示，在中，已知点O是该三角形的外心，求证： . 【证明】作的外接圆，延长AO交外接圆于点D，如图所示： 由图示可得（同弧或等弧所对的圆周角相等） ， （直径所对的圆周角是直角） ， O A BC D O A BC 5 . 性质性质4、三角形外接圆半径等于三角形三边的乘积除以四倍的该三角形面积. 【问题】如图所示，已知的三边长分别为，是外接圆，半 径为，求证：. 【证明】过点A作底边BC的高交BC于点D，如图所示： ， 由正弦定理得， . 性质性质5、锐角三角形外心到三边距离之和等于其内切圆、外接圆半径之和. 【问题】如图所示，在中，三边分别长为，是外接 圆，半径为，是内切圆，半径为 ，过外心O点向三边作垂 线，分别交BC、AC、AB于点D、E、F，长度分别为，求证： a bc O B C A a bc D O B C A 6 . 【证明】连接OA、OB、OC，如图所示： A、F、O、E，O、E、C、D，D、O、F、B分别四点共圆，由托式定理得 c a b d e f I D E F O C B A c a b d e f I D E F O C B A 7 上述三式相加得 由得， . 性质性质6、 点O为的外心 . 【问题】若点O是内的一点，且满足，求证：点O 是的外心. 【证明】 即点O到的三个顶点的距离相等， 点O是的外心. 【问题】若点O是内的一点，且满足 . 【证法一】如图所示： O A B C 8 【证法二】以OA、OB为邻边作平行四边形AOBD，以OA、OC为邻边作平行四边 形AOCE，如图所示： 平行四边形AOBD是菱形，； 同理可得平行四边形AOCE也是菱形，即， 性质性质7、若点O为的外心，则 . 【问题】已知点O为的外心，是的外接圆，求证： （本处出现的 ）. E D O A B C 9 【证明】连接AO并延长交BC于点D、交于点E，连接BO，连接CO并延长 交AB于点F，过点D作DMOB交CF于点M，作DNCF交OB于点N，连接BE、 CE，如图所示： 由共边定理得 O C B A E MN F D O A B C 10 同理可得， 所以 在