协方差及相关系数

一、协方差和相关系数的概念和性质，二、相关系数的意义，三、总结，三节协方差和相关系数，、前我们学习随机变量的数学期望和方差，对多维随机变量，除了其数学期望和方差外，还研究反映各分量之间关系的数字特征。 其中最重要的是现在要研究的协方差和相关系数，一.问题的提出，一、协方差和相关系数的概念和性质，在研究此问题之前先看一例。 在研究孩子和父母的相似度时，一是父亲的身高与其成人儿子的身高的关系。 这里有两个变量，一个是父亲的身高，一个是成年儿子的身高。 为了研究这两者的关系，英国统计学家皮尔逊收集了1078名父亲和成年儿子的身高数据，画了散布图。 问：父亲和其成年儿子的身高有什么关系呢，类似的问题是：1，吸烟和肺癌有关系吗？ 定义两个随机向量(x，y )，并且如果E(X-EX)(Y-EY )存在，则cov(X，Y)=E(X-EX)(Y-EY )被称为x和y的协方差。 特别地，如果X=Y，则cov(X，X)=E(X-EX)2=D(X )，因此方差是协方差的特性，并且协方差描绘了两个随机变量之间的“某个”关系。 如果(x，y )遵循二维正态分布，即2 .定义，如果x和y独立，则4 .计算协方差的简单的公式，cov(X， Y)=0.cov(X Y)=E(XY)-E(X)E(Y )，D(X Y)=D(X) D(Y) 2Cov(X，y )，3随机变量与方差的关系，(5)Cov(X1 X2，Y)=Cov(X1，y )，(3)Cov(X，Y)=Cov(Y，x ) (对称性)，5 .简单的性质，(4=abCov(X，y )其中，a、b为常数，因此请利用上述所学知识，(1)Cov(X，X)=D(X )、(2)Cov(X，c)=0(c为常数)，协方差的数值在某种程度上反映了x与y的相互关系，但受x与y自身的数值大小的影响。 如果设X*=kX，Y*=kY，则X*和Y*相互关系与x和y的相互关系应该相同，但Cov(X*，Y*)=k2Cov(X， y )为了克服这个缺点，在计算x和y的协方差之前，先将x和y归一化：然后通过计算X*和Y*的协方差来导入相关系数的概念，假设为随机变量x和y的相关系数；在不引起混淆的情况下，标记为2，相关系数，2，相关系数的性质，并且|XY|的幅度为x， 注意反映了y之间的线性关系的紧密度：XY=0，如果x、y之间没有线性关系|XY|=1，则在x、y之间具有线性关系，XY0，x， y正相关度XY0，完全负相关度Y=aX ba0，方差越小，事件|x-E(X)|的发生概率越小，即x的取值集中在E(X )附近，表示方差确实是描述随机变量及其期望值的方差的程度的变量。 如果D(X )是已知的，切比舍夫不等式表示x和e(x )的偏差很小的概率的估计值。 (二)估计事件的概率； 已知例1正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均为7300，平均方差为700。 利用切比雪夫不等式，推定每毫升白细胞数为52009400的概率。 解：将每ml白细胞数设为x，按问题区分，E(X)=7300，D(X)=7002，求出P(5200X9400 )，p (5200 x 9400 )=p (-2100 x-e (x ) 2100 )，=P|X-E(X)|2100 )，切比雪夫不等式，P|X-E(X)|2100。 白细胞数每毫升52009400之间的概率估计为8/9 .以上，例2电站的供电网设置了10000个电灯，晚上灯点亮的概率全部为0.7，假设灯的