07秋季班初二自招进度二平行四边形教师版

1 第七讲 平行四边形 【平行四边形的定义和性质】 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ，用“”表示 性质 1：平行四边形的对边平行 （对边位置关系） 性质 2：平行四边形的对边相等 （对边数量关系） 性质 3：平行四边形的对角相等 （对角数量关系） 性质 4：平行四边形的对角线互相平分 （对角线） 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等 【例题与练习】 1. 如图，在ABCD中，AFBE、分别平分DABCBA、，交CD于点EF、，若 6,4ABcm ADcm，求EF的长. 解：AF平分DAB 12 在ABCD 中，6,/ /,4ABCDcm ABCD BCADcm 2313 4DFADcm 同理4ECBCcm 2 2 DEDCECcm EFDFDEcm 2. 在ABCD中，M是AD的中点，2ADAB，求BMC的度数 解：M是AD的中点 22ADAMDM 在平行四边形ABCD中，ABCD又2ADAB即 0 90BMC 思考：平行四边形的 4 条性质定理有没有逆定理？ 【平行四边形的判定】 判定 1：两组对边分别平行的四边形为平行四边形 （对边位置关系） 判定 2：两组对边分别相等的四边形为平行四边形 （对边数量关系） 判定 3：两组对角分别相等的四边形为平行四边形 （对角数量关系） 判定 4：对角线互相平分的四边形为平行四边形 （对角线） 判定 5：一组 对边平行且相等的四边形为平行四边形 （对边位置数量关系） 0 00 , 12,34 /15,3625,46 /2546180 5690790 AMAB DMDC ADBC ABCD 2 【例题与练习】 3. 如图，在ABCD中，EF、是对角线BD的三等分点. 求证：四边形AECF是平行 四边形. 证（1） ：联结AC，交BD于O 在ABCD 中 ,OAOC OBOD EF 、是BD的三等分点 BEDF OBBEODDF 即OEOF四边形AECF是平行四边形 证（2） ：A D EC B F AECF，且34 AECF 四边形AECF是平行四边形. 4. 如图， 分别以ABCD中的ADBC、为边作等边ADE、 等边BCF， 联结EF 求证：四边形ABFE和四边形DCFE都是平行四边形 证：在ABCD中 / /,ADBC ADBC 0 1180ABC 即 0 123180 在等边ADE、等边BCF中 0 3460 ,ADAE BCBF 0 124180 即 0 2180EAB AEBF，且AEBF， 四边形ABFE是平行四边形 ABCDAB CD在中， ， ,ABFEAB EFCD EF在中， 四边形DCFE是平行四边形 【课堂练习】 1. 平行四边形的一内角平分线与对边相交，把对边分成 5cm 和 3cm 两段，求这个平行四 边形的周长 解： （1）(5 8) 226cm （2）(3 8) 222cm O F E D C B A 3 2. 如图，已知四边形 ABCD 为平行四边形，AEBD于 E，CFBD于 F （1）求证：BE=DF； （2）若 M、N 分别为边 AD、BC 上的点，且 DM=BN，试判断四边形 MENF 的形状 解：（1） 四边形 ABCD 是平行四边形， ,ABCD ABCDABDCDB ,AEBDE CFBDF于于 90()AEBCFDABECDF AAS BEDF （2）四边形 MENF 是平行四边形 证明：有（1）可知：BE=DF， 四边形 ABCD 为平行四边行， ADBCMDBMBD DMBNDNFBNE ,NEMFMFDNEBMFENEF MFNE四边形 MENF 是平行四边形 3. 如图所示，AECF 的对角线相交于点 O，DB 经过点 O，分别与 AE，CF 交于 B，D 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 证明： 四边形 AECF 是平行四边形 ,OEOF OAOC AECF ,DFOBEOFDOEBO FDOEBOODOB OAOC四边形 ABCD 是平行四边形 4. 如图， 已知，ABCD 中， AE=CF， M、 N 分别是 DE、 BF 的中点 求证： 四边形 MFNE 是平行四边形 证明：由平行四边形可知， 又DAEBCFAECF， ,DEBFAEDCFB 又 M、N 分别是 DE、BF 的中点， ME=NF 又由 AB DC，得AEDEDC ,EDCBFC MENF 四边形 MFNE 为平行四边形 4 5. 如图，已知以ABC 的各边为边，在 BC 同一侧作正BCE、正ACF、正ADB, 连接 DE、EF.求证：四边形 DAFE 是平行四边形 证：在正BCE和正ACF中 0 , 1260CFAC CECB FCEACBFCEACB 同理：DBEACB DEAC ACAFDEAF EFABABADEFAD 四边形DAFE是平行四边形 6. 平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O 点，,ACab BDacABm， 求m的取值范围 解：过CCEDBAB作交的延长线于E, 易证四边形DBEC是平行四边形， 所以,CEDBac BEDCABm 2 .AEm即 在ACEACCEAEACCE中，,即 11 ()(2) 22 bcmabc 7. 如图，ADBC, B=C, BC=8, AD=6. 求： （1）AB+DC 的长 （2）AB 和 CD 间的距离 解：作/CEDA，交BA的延长线于E / / BC DCBE 四边形AECD是平行四边形 0 0 22 ,6 12 190 290 10 10 DCAE DACE ADBC BEBCCE ABDCABAEBF （2）作CFBE于F C BA D O 5 BE CFCE BC 4.8CF 8. 如图，分别以 Rt ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边 ACD、等边 ABE已知 BAC= 0 30，EFAB，垂足为 F，连结 DF求证：四边形 ADFE 是平行四边形 证明：易证 Rt ABCRt EBF AC=EF 在等边 ACD 中，DAC= 0 60，AD=AC 又BAC= 0 30DAF= 0 90ADEF 又AC=EF AD=EF四边形 ADFE 是平行四边形 【课后作业】 1.在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为 A(2，1)，B（3，1） ，C（1，0）. 若点 A、B、C、D 构成平行四边形，求点 D 的坐标. 解： （1）当AB为对角线时，( 6,0)D （2）当BC为对角线时(0, 4)D （3）当CA为对角线时(2,2)D 2、如图，已知在等边ABC 中，CD=BF, 以 AD 为边作等边AED. 求证：四边形 CDEF 是平行四边形 证：ACDCBF 0 12 314 32460 ADCF ADDE CFDE 0 60 3 / / ADE ADE CFDE 又 四边形CDEF是平行四边形 C B A D EF 6 【教师备用】 1. 将一副三角尺如图拼接：含 30角的三角尺（ABC）的长直角边与含 45角的三角 尺（ACD）的斜边恰好重合已知 AB23，P 是 AC 上的一个动点 （1）当点 P 运动到ABC 的平分线上时，连接 DP，求 DP 的长； （2）当点 P 在运动过程中出现 PDBC 时，求此时PDA 的度数； （3）当点 P 运动到什么位置时，以 D，P，B，Q 为顶点的平行四边形的顶点 Q 恰好在边 BC 上？求出此时DPBQ的面积 解：在 RtABC 中，AB23，BAC30 ，BC3， AC3 （1） 如图（1） ，作 DFAC，RtACD 中，ADCD， DFAFCF 2 3 BP 平分ABC， PBC30， 易知 CP1， PF 2 1 ， DP 22 DFPF 2 10 （2） 当 P 点位置如图（2）所示时， 当 P 点位置如图（3）所 示时， 根据（1）中结论， 同（2）可得PDF30 DF 2 3 ，ADF45， PDAADFPDF 75 又 PDBC3， 易知 2 3 PF，PDF30 PDAADFPDF15 （3）CP 2 3 （如图 4） 在DPBQ 中， BCDP， ACB90 ， DPAC 根据（1）中结论可知，DPCP 2 3 ， DPBQ SCPDP 4 9 7 2. 已知在三角形 ABC 中，C