03 比例线段32015年寒假 初二数学竞赛进阶进度一班学生

比例比例线段（线段（3 3） 1 / 5 第三讲 比例线段（3） 【例题1】 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ADa，BCb，E，F 分别是 AD，BC 的中点， AF 交 BE 于 P，CE 交 DF 于 Q，求 PQ 的长 【例题2】 已知 O 是平行四边形 ABCD 内的任意一点，过点 O 作 EFAB，分别交 AD，BC 于 E， F，又过 O 作 GHBC，分别交 AB，CD 于 G，H；连结 BE，交 GH 于 P；连结 DG，交 EF 于 Q如果OPOQ，求证：平行四边形 ABCD 是菱形 比例比例线段（线段（3 3） 2 / 5 【例题3】 在ABC 的边 AB，BC，CA 上分别取点 M，K，L，使 MKAC，MLBC令 BL 与 MK 交于 P，AK 与 ML 交于 Q求证：PQAB 【例题4】 在ABC 中，2ACAB，A 的平分线交 BC 于 D，过 D 分别作 AB，AC 的平行线交 AC， AB 于 F， E， FE 和 CB 的延长线交于 G， 求证：EFEG 【例题5】 如图， 已知 M， N 为ABC 的边 BC 上的两点， 且满足BMMNNC， 一条平行于 AC 的直线分别交 AB， AM， AN 的延长线于 D， E， F 求证：3EFDE 比例比例线段（线段（3 3） 3 / 5 【例题6】 正三角形 ABC，D、E、F 是 BC、CA、AB 的中点，P、Q、R 分别在 EF，FD，DE 上， A、P、Q 共线，B、Q、R 共线，C、R、P 共线，求 FP PE 【例题7】 如图 1-16(a)所示，AM是ABC的中线，交BC于点M，任意作一条直线分别交 AB、AC于点P、Q求证： 2ABACAM APAQAN 【例题8】 设 D，E，F 分别是ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，BDC 及ADC 的角平分线分别 交 BC 及 AC 于点 M，N求证： 112 EFDCMN N M F E D CB A 比例比例线段（线段（3 3） 4 / 5 【例题9】 如图，P 为ABC 内任一点，过 P 作 AD，BE，CF 分别与 BC，AC，AB 交于点 D，E， F求证： （1）1 PDPEPF ADBECF ； （2）2 APBPCP ADBECF 【例题10】 如图， 已知梯形 ABCD 中，ADBC （ADBC） ，AC 和 BD 交于 M，EFAD 且过 M， EC 和 FB 交于 N，GHAD 且过 N求证 1212 . ADBCEFGH 【例题11】 已知在ABC中，2BEEC，2AFFC，且 ABC Sa，求阴影部分的面积 比例比例线段（线段（3 3） 5 / 5 1. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，在 AD 上截取 1 2 AFFD，EF 交 AC 于点 G求 AG GC 的值 2. 如图 1-15(a)所示，在ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PMAC交AB 于点M，作PNAB交AC于点N，回答下列问题 （1）若点D是BC的中点，且:2:1AP PD，求:AM AB的值 （2）若点D是BC的中点，求证： AMAN ABAC （3） 若点D是BC上任意一点，求证： AMANAP ABACAD 3. 如图所示，在ABC中，底边 BC 上的两点 E、F 把 BC 三等分，BM 是 A