第九章 欧几里得空间.ppt

第九章欧几里得空间,线性空间,夹角等度量性质,几何空间中:,向量的长度:,非零向量的夹角:,1.定义与基本性质,定义1设是实数域上的线性空间，在中定义了一个二元实函数,称为内积,记作,它具有以下性质:,1)；,2)；,3)；,4)，当且仅当时,其中是中任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间，简称为欧氏空间.,定义2非负实数称为向量的长度,记为.,几何空间中:,向量的长度:,引入“长度”的概念：,引入“夹角”的概念：,几何空间中:,非零向量的夹角:,在欧式空间中能否类似定义？,柯西布涅柯夫斯基不等式：,当且仅当线性相关时，等号才成立.,对任意的向量，,定义3非零向量的夹角规定为：,定义4如果向量的内积为零，即,那么称为正交或互相垂直，记为,在有限维欧式空间中讨论：,设是维欧氏空间，是上的一组基，,称矩阵为基的度量矩阵.,其中,2.标准正交基,定义5欧式空间中一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为一组正交向量组.,性质:正交向量组是线性无关的.,实例:几何空间,地位:,定义6在n维欧氏空间中,由n个,向量组成的正交向量组称为正交基;由单位向量组成的正,交基称为标准正交基.,性质:,1)度量矩阵为单位矩阵;,2)存在性.,用处:,定理1在n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.,如何求标准正交基呢?,证明过程实际就是直接求欧氏空间上的正交基的方法.,正交基,标准正交基,已知欧氏空间上的一组基,如何求正交基?,定理2对于n维欧氏空间中任意一,组基,都可以找到一组标准正交基,施密特(Schimidt)正交化过程:,正交化:,单位化:,例把,变成单位正交的向量组.,标准正交基之间的基变换公式:,设与是欧氏空间V中,的两组标准正交基,它们之间的过渡矩阵是,即,定义7如果如果级实矩阵满足，则称为正交矩阵.,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;,若两组基之间的过渡矩阵是正交矩阵，且其中一组基是标准正交基，则另一组基也是标准正交基.,3.同构,定义8实数域上欧氏空间与,如果存在由到的一个双射,且对任意的,满足,则称与同构,映射称为到的同构映射.,性质:,同构的欧氏空间必有相同的维数.,每个n维的欧氏空间都与同构.,反身性,对称性,传递性.,任意两个n维欧式空间都同构.,定理3两个有限维欧式空间同构的充要条件是,它们的维数相同.,4.正交变换,解析几何中的正交变换，就是保持点之间的距离不变的变换.,则称A为正交变换.,定义9设A是欧氏空间上的线性变换，如果它,保持向量的内积不变，即对于任意的，都有,定理4设A是n维欧氏空间的一个,线性变换，于是下面四个命题是相互等价的:,1)A是正交变换;,2)A保持向量的长度不变,即对于,3)如果是标准正交基,那么,也是标准正交基;,4)A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.,正交变换的性质:,正交变换可逆.,正交变换的乘积还是正交变换.(正交矩阵),正交变换的逆变换还是正交变换.(正交矩阵),正交变换的分类:,行列式等于+1的正交变换称为旋转,或称为第一类的.,行列式等于-1的正交变换称为第二类的.,5.子空间,定义10设是欧氏空间中的,两个子空间,如果对于任意的,恒有,则称为正交的,记为,一个向量,如果对于任意的,恒有,则称与子空间正交,记为,定理5如果子空间两两正交，,那么和是直和.,定义11如果,并且,则称子空间,的正交补.,定理6n维欧氏空间的每一个子空间都有唯一,为子空间的一个正交补.记作.,推论恰由所有与正交的向量组成,6.实对称矩阵的标准形,任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵,即都,存在一个可逆矩阵,使成对角形.,本节主要结果:,对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵,T,使成对角形.,要证明这个结果,需要如下准备:,引理1设A是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数.,对应于实对称矩阵A,在n维欧氏空间上定义一个线性变换A如下:,则有A在标准正交基,下的矩阵是A.,引理2设A是实对称矩阵,A的定义如上,则对任意,有,或,定义12欧氏空间中满足等式,的线性变换称为对称变换.,引理3设A是对称变换,是A子空间,则也是A子空间.,特征值的特征向量必正交.,引理4设A是实对称矩阵,则中属于A的不同,定理7对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级,正交矩阵T,使成对角形.,给定一个实对称矩阵A,如何求定理7中的正交矩阵T?,1.求出A的特征值,设使A的全部不同的特征值.,2.对于每个,解齐次线性方程组,求出一个基础解系,这就是A的特征子空间,的一组基,由这组基出发,求出的一组标准正交基.,3.因为两两不同,所以向量组,标准正交基,以它们为列构成的矩阵为T.,两两正交,个数为n,即为的一组