概率论与数理统计第1.4节 全概及逆概公式 .ppt

,3个编号的球放入两个编号盒子中,每个盒子至少放一个球,有多少种放法?,1:,2:,哪种解法正确?,分析:,设三个球为A,B,C,两个盒子为1，2，则在解法1中，两种放法重复：,(A1B1)C2;(B1A1)C2,3(隔板法):,练习1在12000的整数中随机的取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少？,解：设A为事件“取到的整数能被6整除”,B为“取到的整数能被8整除”,则所求的概率为：,为：6，12，181998共333个,所以能被6整除的整数,AB为“既被6整除又被8整除”或“能被24整除”,于是所求的概率为：,其中B=8,16,2000AB=24,481992,练习2一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率,解设A=三次取出的均为黑球，Ai=第i次取出的是黑球，i=1,2,3，则有A=A1A2A3由题意得,故,该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型上述概率显然满足不等式P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).,这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大所以，卜里耶模型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型,练习3：袋中有一个白球及一个红球，一次次地从袋中取球，如果取出白球，则除把白球放回再加进一个白球，直至取出红球为止.求取了n次都没有取到红球的概率.,解：记,第i次取得白球，i1,2,n,A=取了n次都没有取到红球,则,=,前n-2次取得白球的条件下，第n-1次取得白球,前n-1次取得白球的条件下，第n次取得白球,第一次取得白球的条件下，第二次取得白球的概率,第一次取得白球,练习4若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0.002,求在有1500人看电影的剧场中有感冒病毒的概率。,解以表示事件“第i个人带有感冒病毒”（i=1,2,，1500），假定每个人是否带有感冒病毒是相互独立的，则所求概率为,从这个例子可见，虽然每个带有感冒病毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。,它们下方的数是它们各自正常工作的概率。求电路正常工作的概率。,练习5下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.,解将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有,代入得,思考能否由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)推出P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C).答：不能。这从下面的练习6可以看出。,练习6若有一个均匀正八面体，其第1，2，3，4面染红色，第1,2，3,5面染白色，第1，6，7，8面染上黑色，现在以A,B,C分别表示投一次正八面体出现红，白，黑的事件，则P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C)但是P(AB)=3/81/4=P(A)P(B),练习7,(1)在古典概型的随机试验中,(),(2)若事件A,B,C,D相互独立,则,事件,若事件A1,A2,An相互独立,将它们任意分成k组,同一事件不能同时属于两个不同的组,则对每组事件进行求和、积、差、逆等运算所得到的k个事件也相互独立.,(3)若事件A与B独立,B与C独立,则事件A与C也相互独立.(),事件相互独立不具有传递性.,练习8,对任意事件A,B下列结论正确的是,(),(a),(b),(c),(d),解,选b.d,c显然错,可证b是对的.,b,练习9小王忘了朋友家电话号码的最后一位,数,故只能随意拨最后一个号,则他拨三次,由乘法公式,设事件表示“三次拨号至少一次拨通”,表示“第i次拨通”,则,解,可拨通朋友家的概率为,0.3,练习10小王忘了朋友家电话号码的最后一位,数,他只能随意拨最后一个号,他连拨三次，,由乘法公式,设,表示“第i次拨通”,解一,求第三次才拨通的概率.,解二,从题目叙述看要求的是无条件概率.,产生误解的原因是未能仔细读题，,未能分清条件概率与无条件概率的区别.,本题若改叙为：他连拨三次，已,知前两次都未拨通,求第三次拨通的概率.,此时，求的才是条件概率.,练习1110件产品中有3件次品,从中任取2件.,在所取2件中有一件是次品的条件下,求,另一件也是次品的概率.,解1,设事件表示“所取2件中有一件次品”,事件表示“另一件也是次品”.则,解2,1.4.1全概率公式,1.4.2逆概率公式,1.4全概率公式与逆概率公式,定义,也称为的一个分割,样本空间的分割（P38）,有三个罐子,1号装有2红1黑球,2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.,引例1：,如何求取得红球的概率？,一、全概率公式（P38）,全概率公式,证明,概率的性质,乘法公式,事件的性质,全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,全概率公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,因为B发生总是伴随着A1,A2,A3之一同时发生,依题意:P(Ai)=1/3(i=1,2,3),P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,有三个罐子,1号装有2红1黑球,2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.,解:记Ai=球取自i号罐i=1,2,3,A1,A2,A3是样本空间的一个分割;B=取得红球,再看引例1,代入数据计算得：,因为B发生总是伴随着A1,A2,A3之一同时发生,有三个罐子,1号装有2红1黑球,2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.,解记Ai=球取自i号罐i=1,2,3,A1,A2,A3是样本空间的一个分割;B=取得红球,再看引例1,依题意:P(Ai)=1/3(i=1,2,3),P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,代入数据计算得：,例1有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件B为“任取一件为次品”,解,30%,20%,50%,例1有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,事件B为“任取一件为次品”,30%,20%,50%,2%,1%,1%,由全概率公式得,全概率公式的另一种提法:,则,为两两互斥的事件组，且事件,引例2：,某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号罐的概率.,这是一个条件概率问题,下面就介绍为解决这类问题而引出的逆概率(Bayes)公式,称此为逆概率公式或贝叶斯公式.,二、逆概率公式(Bayes公式)（P39）,证明,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,条件概率,全概率公式,乘法公式,逆概率公式(Bayes公式)的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用逆概率公式,逆概率公式(Bayes公式)的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用逆概率公式,A1,A2,A3是样本空间的一个分割,依题意:P(Ai)=1/3(i=1,2,3),P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号罐的概率.,再看引例2,解记Ai=球取自i号罐i=1,2,3;B=取得红球,代入数据计算得：,A1,A2,A3是样本空间的一个分割,某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号罐的概率.,再看引例2,解记Ai=球取自i号罐i=1,2,3;B=取得红球,依题意:P(Ai)=1/3(i=1,2,3),P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,代入数据计算得：,例2,(2)由逆概率公式得,同理可得,例4,解,(1)由全概率公式得,(2)由逆概率公式得,解,例3,由逆概率公式得所求概率为,解,例5,由逆概率公式得所求概率为,上题中概率0.95是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.（P39）,而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后验概率.（P39）,先验概率与后验概率,先验概率与后验概率的关系,解,例4,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.,解,例4,由逆概率公式得所求概率为,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.,每100件产品为一批,已知每批产品中次品数不超过4件,每批产品中有i件次品的概率为,从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格.求(1)一批产品通过检验的概率；(2)通过检验的产品中恰有i件次品的概率.,例5,设一批产品中有i件次品为事件Ai,i=0,1,4,B为一批产品通过检验,由全概率公式与Bayes公式可计算P(B)与,解设一批产品中有i件次品为事件Ai,i=0,1,4,B为一批产品通过检验,已知P(Ai)如表中所示，,A0,A1,A2,A3,A4是样本空间的一个分割,且,1.00.90.8090.7270.652,1.00.90.8090.7270.652,0.1230.2210.3970.1790.080,（1）一批产品通过检验的概率；,（2）通过检验的产品中恰有i件次品的概率.,每100件产品为一批,已知每批产品中次品数不超过4件,每批产品中有i件次品的概率为,从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格.求(1)一批产品通过检验的概率；(2)通过检验的产品中恰有i件次品的概率.,例7,解设一批产品中有i件次品为事件Ai,i=0,1,4,B为一批产品通过检验,则,已知P(Ai)如表中所示，且,结果如下表所示,1.00.90.8090.7270.652,0.1230.2210.3970.1790.080,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,小结,乘法定理,本章中介绍了一类新的现象随机现象，这是一种普遍存在的现象。在大量随机现象中存在着统计规律性，概率论便是研究随机现象的数量规律的一门数学学科。“事件”与“概率”是概率论中最基本的两个概念，我们在公理化结构下严格地定义了概率的概念。为了能清楚地理解事件与概率的直观含义，我们采用由具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式分别介绍了频率、古典概型、几何概率，并从中归纳出事件与概率的本质特征，为公理化定义作准备，最后给出了概率的公理化定义，这种讲法基本上与概率概念的历史发展平行。事件的运算及概率的性质是本章的基本内容，也是学习以后的必要基础，务必牢固掌握。,本章小结,概率的定义只给出概率必须满足的三条基本性质，并未对事件A的概率P(A)给定一个具体的数。只在古典概型的情况，对于每个事件A给出了概率P(A)kn。一般，我们可以进行大数量的重复试验，得到事件A的频率，而以频率作为P(A)的近似值。在古典概型中，我们证明了条件概率的公式：(1.1)在一般的情况，(1.1)式则作为条件概率的定义。固定A，条件概率P(A)具有概率定义中的三个基本性质，因而条件概率是一种概率。有两种计算条件概率P(BA)的方法：(1)按条件概率的含义，直接求出P(BA)。注意到，在求P(BA)时已知A已发生，样本空间S中所有不属于A的样本点都被排除，原有的样本空间S缩减成为SAA。在缩减了的样本空