二次根式知识点+例题分析+难题拓展+测试

二次根式的知识点汇总知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0） 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0知识点二：取值范围1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。 例2当x是多少时，在实数范围内有意义？例3当x是多少时，+在实数范围内有意义？知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。例4(1)已知y=+5，求的值(2)若+=0，求a2004+b2004的值知识点四：二次根式（）的性质1（） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 例1 计算 1（）2 2（3）2 3（）2 4（）2例2在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3知识点五：二次根式的性质2文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 （1） （2） （3） （4）例2 填空：当a0时，=_；当aa，则a是什么数？例3当x2，化简-知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的乘除1、 乘法（a0，b0） 反过来：=（a0，b0）2、除法=（a0，b0） 反过来，=（a0，b0） （思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0） 例1计算 （1）4 （2） （3） （4） 例2 化简（1） （2） （3） （4） 例3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） （2）=4=4=4=8 例4计算：（1） （2） （3） （4） 例5化简： （1） （2） （3） （4）例6已知，且x为偶数，求（1+x）的值3、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）例1把下列二次根式化为最简二次根式(1) ; (2) ; (3) 4、化简最简二次根式的方法：(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类： 与； 与；与； 与 说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。 判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如与知识点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 例1计算（1）+ （2）+ 例2计算（1）3-9+3 （2）（+）+（-）例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减3、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有 （3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小例4比较3与4的大小 【典型例题】1、 概念与性质 例1、下列各式1），其中是二次根式的是_（填序号）例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）；（2）例3、 在根式1) ，最简二次根式是（ ）A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)例4、已知：例5、已知数a，b，若=ba，则 ( )A. ab B. ab0，a+b=6，则的值为（ ）A B2 C D 例4、甲、乙两个同学化简 时，分别作了如下变形： 甲：=； 乙：=。 其中（ ）A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确D. 只有乙正确课堂练习：1. 使式子有意义的条件是 。2. 当时，有意义。3. 若有意义，则的取值范围是 。4. 当时，是二次根式。5. 在实数范围内分解因式：。6. 若，则的取值范围是 。7. 已知，则的取值范围是 。8. 化简：的结果是 。9. 当时，。10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。11. 使等式成立的条件是 。12. 若与互为相反数，则。13. 在式子中，二次根式有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D. 15. 若，则等于（ ）A. B. C. D. 16. 若，则（ ）A. B. C. D. 17. 若，则化简后为（ ）A. B. C. D. 18. 能使等式成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 19. 计算：的值是（ ）A. 0 B. C. D. 或21. 若，求的值。22. 当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。24. 已知，求的值。25. 已知为实数，且，求的值。26. 化简： 二次根式的乘除1. 当，时，。2. 若和都是最简二次根式，则。3. 计算：。4. 计算：。5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ） A. B. C. D. 8. 对于所有实数，下列等式总能成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定10. 对于二次根式，以下说法中不正确的是（ ）A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为311. 计算： 21.3 二次根式的加减1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与是同类二次根式 C. 与不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. 与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 3 D. -36. 若，则的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 38. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，与是同类二次根式的是 。10.若最简二次根式与是同类二次根式，则。11. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则。13. 已知，则。14. 已知，则。15. 。16. 计算：. . . . 17. 计算及化简：. . . . 18. 已知：，求的值。19. 已知：，求的值。20. 已知的值。一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果是二次根式，那么应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 当x=3时，在实数范围内没有意义的是（ ） A. B. C. D. 4. 化简二次根式得（ ） A. B. C. 18 D. 65. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 化简等于（ ） A. B. C. D. 9. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 且10. 当时，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分）11. 如果是二次根式，则的取值范围是 。12. 若，则代数式= 。13. 化简= ，= ，= 。14. 计算= 。15. 已知，则 。16. 若与是同类二次根式，则= 。17. 成立的条件是 。18. 若，则= 。三、解答题(共56分)19. 分别指出取哪些实数时，式子有意义。（每小题3分，共6分）（1）； （2）；20. 计算（每小题4分，共16分）（1）； （2）（3） （4）21. 已知，计算的值。（5分）22. 已知实数满足，求的值。（5分）23. 若，求代数式的值。（6分）24. 已知求的值。（6分）25. 已知，求的值。（6分）综合、运用、诊断一、填空题11表示二次根式的条件是_12使有意义的x的取值范围是_13已知，则xy的平方根为_14当x=2时，_二、选择题15下列各式中，x的取值范围是x2的是( )ABCD16若，则xy的值是( )A7B5C3D7三、解答题17计算下列各式：(1)(2)(3)(4)18当a=2，b=1，c=1时，求代数式的值拓广、探究、思考19已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：的结果是：_20已知ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足试求ABC的c边的长综合、运用、诊断一、填空题9定义运算“”的运算法则为：则(26)6=_10已知矩形的长为，宽为，则面积为_cm211比较大小：(1)_；(2)_；(3)_二、选择题12若成立，则a，b满足的条件是( )Aa0且b0Ba0且b0Ca0且b0Da，b异号13把根号外的因式移进根号内，结果等于( )ABCD三、解答题14计算：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_15若(xy2)2与互为相反数，求(xy)x的值拓广、探究、思考16化简：(1)_；(2)_综合、运用、诊断一、填空题7化简二次根式：(1)_(2)_(3)_8计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：(1)_(2)_(3)_(4)_9已知则_；_(结果精确到0001)二、选择题10已知，则a与b的关系为( )Aa=bBab=1Ca=bDab=111下列各式中，最简二次根式是( )ABCD三、解答题12计算：(1)(2)(3)13当时，求和xy2x2y的值拓广、探究、思考14观察规律：并求值(1)_；(2)_；(3)_15试探究与a之间的关系综合、运用、诊断一、填空题12已知二次根式与是同类二次根式，(ab)a的值是_13与无法合并，这种说法是_的(填“正确”或“错误”)二、选择题14在下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )ABCD三、计算题15161718四、解答题19化简求值：，其中，20当时，求代数式x24x2的值拓广、探究、思考21探究下面的问题：(1)判断下列各式是否成立?你认为成立的，在括号内画“”，否则画“”（ ）（ ）（ ）（ ）(2)你判断完以上各题后，发现了什么规律?请用含有n的式子将规律表示出来，并写出n的取值范围(3)请你用所学的数学知识说明你在(2)题中所写式子的正确性综合、运用、诊断一、填空题13(1)规定运算