《经济数学》-第三章中值定理及导数的应用.ppt

结束,第3章中值定理、导数应用,定理1设函数满足下列条件,(3),(1)在闭区间上连续；,(2)在开区间内可导;,则在内至少存在一点，,3.1.1罗尔定理,a,b,使得,则在区间内至少存在,(1)在闭区间上连续；,(2)在开区间内可导；,定理2设函数满足下列条件,一点，,使得,3.1.2拉格朗日中值定理,例：设,在,处连续，,，且,，则,=2,2.在开区间内可导，,1.在闭区间上连续；,定理3Cauchy中值定理,则在区间内定有点,使得,3.1.3柯西中值定理,设函数与满足如下条件：,如果在某极限过程下,函数f(x)与g(x)同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。一般分为三种类型讨论：,3.2洛必达法则,定理1设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：,1型未定式,解,例2求,解,例3求,解,此定理的结论对于时型未定式同样适用。,例4求,解,2型不定式,的某空心邻域内有定义，且满足如下条件,则,3其它型不定式,未定式除,和,型外，还有,型、,型、,等五种类型。,型、,型、,型、,型或者型,型：,变为,例8求,解,型:,通分相减变为型,例9求,（型）,解,3.3函数的单调性与极值,定理1设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区,间(a,b)内可导，则：,1.若在(a,b)内,则f(x)在区间(a,b)内单调增加,2.若在(a,b)内,则f(x)在区间(a,b)内单调减少。,a,b,a,b,3.3.1函数的单调性及判别法,例2确定函数的单调区间.,可导，且等号只在x=0成立.,解因为所给函数在区间上连续，在内,例1判定函数在区间上的单调性.,解,所以当x=-1,x=1时,反之，如果对此邻域内任一点，恒有则称为函数的一个极小值，称为极小值点。,3.3.2函数的极值,定义设函数在点的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点，恒有，则称是函数的一个极大值，称为函数的一个极大值点；,函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。,A,B,C,D,E,极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。,从图中可看出,极小值不一定小于极大值，如图中D点是极小值，A点是极大值。,定理3（极值第一判别法）：,设函数在点的某邻域内连续，且在此邻域内（可除外）可导,（1）如果当时，而当时，则在取得极大值。,（,）,如图所示：,在，,在，,在取得极大值。,（2）如果当时，而当时，则在取得极小值。,（,）,如图所示：,在，,在，,在取得极小值。,（3）如果在两侧的符号不变，则不是的极值点，如图示,(4)利用定理3,判断(2)中的点是否为极值点,如果是,求极值点的步骤：,(1)求函数的定义域(有时是给定的区间);,(3)用(2)中的点将定义域(或区间)分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点.,(2)求出,求出使的点及不存在的点;,讨论在每个区间的符号;,(5)求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值.,例4求函数的单调区间和极值.,解函数的定义域为,这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下,极大值,极小值,3.3.3函数的最大值与最小值,是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者,最小的就是函数在区间,上的最小值。,连续函数在区间,上的最大值与最小值可通过比较,端点处的函数值和;,1.区间,如下几类点的函数值得到：,3.4导数在经济中的应用,3.4.1函数的变化率边际函数,边际函数值。其含义为:当时,x改变一个单位，相,相应地y约改变个单位,当时,实际上，,解,所以,边际成本是总成本的变化率。设C为总成本，,下面介绍几个常见的边际函数:,1边际成本,为固定成本，,则有,为可变成本，,为平均成本，,为边际成本，,为产量，,总成本函数,平均成本函数,边际成本函数,时的总成本，平均成本及边际成本。,解由,令得,边际成本,于是当时,总成本,平均成本,Q为多少时，平均成本最小?,例3在例1中，当产量,解,所以,当Q=20时平均成本最小。,2收益,平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益，为平均收益，为边际收益，则有,需求函数,总收益函数,平均收益函数,边际收益函数,需求与收益有如下关系:总收益,平均收益,边际收益,总收益与平均收益及边际收益的关系为,求销售量为30时的总收益，平均收益与边际收益。,例4设某产品的价格和销售量的关系为,解总收益,平均收益,边际收益,3利润,在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量,的函数，分别记为,和,，则总利润,可表,示为,最大利润原则