高考理数　直线、圆的位置关系

9.2直线、圆的位置关系,高考理数(课标专用),考点直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2018课标,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C.,3D.2,3,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案A本题考查直线与圆的位置关系.由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r=,ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为d,则有S=|AB|d.易知|AB|=2,dmax=+=3,dmin=-=,所以2S6,故选A.,方法总结与圆有关的最值问题的解题方法(1)与圆有关的长度或距离的最值问题,一般利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x,y)有关的代数式的最值的常见类型及解法.形如u=的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,2.(2017课标,9,5分)若双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.C.D.,答案A本题主要考查双曲线的方程和性质,直线与圆的位置关系.由题意可知圆的圆心为(2,0),半径为2.因为双曲线-=1的渐近线方程为y=x,即bxay=0,且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以=,所以=.故离心率e=2.选A.,3.(2015课标,7,5分,0.688)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2B.8C.4D.10,答案C设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-22,则|MN|=|(-2+2)-(-2-2)|=4.,思路分析根据圆的几何性质及已知条件求得圆心,从而求得半径,写出圆的标准方程,令x=0,求出y,进而可得|MN|的值.,导师点睛在解决有关圆的问题时,注意多考虑圆的几何性质的应用,从而简化运算过程.,4.(2016课标,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=.,答案4,解析由题意可知直线l过定点(-3,),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,),由于|AB|=2,r=2,所以圆心到直线AB的距离为d=3,又由点到直线的距离公式可得d=,=3,解得m=-,所以直线l的斜率k=-m=,即直线l的倾斜角为30.如图,过点C作CHBD,垂足为H,所以|CH|=2,在RtCHD中,HCD=30,所以|CD|=4.,思路分析由弦长|AB|=2及圆的半径可知圆心到直线的距离为3,利用点到直线的距离公式可得=3,进而求得m值,得到直线l的倾斜角,从而可利用平面几何知识在梯形ABDC中求得|CD|.,5.(2014课标,16,5分,0.293)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是.,答案-1,1,解析解法一:当x0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使OMN=45.当x00时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.若在圆上存在N,使得OMN=45,应有OMBOMN=45,AMB90,-1x00,a=3,点A的横坐标为3.,一题多解由题意易得BAD=45.设直线DB的倾斜角为,则tan=-,tanABO=-tan(-45)=3,kAB=-tanABO=-3.AB的方程为y=-3(x-5),由得xA=3.,6.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则实数a=.,答案4,解析易知ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为,即=,解得a=4.经检验均符合题意,则a=4.,7.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.,答案(x-1)2+y2=2,解析由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,易知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为=,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.,8.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=.,答案2,解析由题意知直线l1和l2与单位圆C所在的位置如图.因此或故a2+b2=1+1=2.,评析本题考查了直线和圆的位置关系,考查了直线的斜率和截距,考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出a和b的值是解题的关键.,9.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若20,则点P的横坐标的取值范围是.,答案-5,1,解析本题考查平面向量数量积及其应用,圆的方程的应用及圆与圆的相交.解法一:设P(x,y),则由20可得,(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20,即(x+6)2+(y-3)265,所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点.又点P在圆x2+y2=50上,联立得解得或即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),易知-5x1.解法二:设P(x,y),则由20,可得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20,即x2+12x+y2-6y20,由于点P在圆x2+y2=50上,故12x-6y+300,即2x-y+50,点P为圆x2+y2=50上且满足2x-y+50的点,即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),同解法一,可得N(1,7),M(-5,-5),易知-5x1.,考点一两条直线的位置关系(2013课标,12,5分,0.408)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.,C组教师专用题组,答案B(1)当直线y=ax+b与AB、BC相交时,如图所示.图易求得:xM=-,yN=.,由已知条件得:=1,a=.点M在线段OA上,-1-0,0ba.点N在线段BC上,01,b1.由解得b.(2)当直线y=ax+b与AC、BC相交时,如图所示.,图,设MC=m,NC=n,则SMCN=mn=,mn=1.显然,0n,m=.又0m且mn.m且m1.设D到AC、BC的距离为t,则=,=,+=+=1.t=,=+=+m.而f(m)=m+的值域为,即2,t.b=1-CD=1-t,1-b.综合(1)、(2)可得:1-0(*),x1+x2=,所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.因为+=+=3x0,所以+=.由(*)解得t20,a=3.(2)能.假设存在满足题意的P点.设点P(x0,y0),因为P点满足条件,所以P点在与l1、l2平行的直线l:2x-y+C=0上,其中C满足=,C3且C-,则C=或C=,2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.因为P点满足条件,所以由点到直线的距离公式得=,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,x0-2y0+4=0或3x0+2=0.P点在第一象限,3x0+2=0不满足题意.由解得(舍去).由解得存在满足题意的P点,且P点的坐标为.,名师点拨用点到直线的距离公式时,要注意将直线方程化为一般式;用两平行线间的距离公式时,直线方程要化为一般式,同时要使x,y前的系数对应相同.,考点二直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2018湖北四地七校3月联考,8)若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x+m)2+y2=20相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是()A.3B.4C.2D.8,答案B连接O1A、O2A,由于O1与O2在点A处的切线互相垂直,因此O1AO2A,所以O1=O1A2+O2A2,即m2=5+20=25,设AB交x轴于点C.在RtO1AO2中,sinAO2O1=,在RtACO2中,AC=AO2sinAO2O1=2=2,AB=2AC=4.故选B.,2.(2018山西太原五中4月模拟,8)已知kR,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab的最大值为()A.15B.9C.1D.-,答案B由题意得,原点到直线x+y=2k的距离d=,且k2-2k+30,解得-3k1,因为2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k2-2k+3)=3k2+2k-3,所以当k=-3时,ab取得最大值9.故选B.,3.(2017河北衡水中学调研考试,5)已知向量a=(2cos,2sin),b=(3cos,3sin),若a与b的夹角为120,则直线6xcos-6ysin+1=0与圆(x-cos)2+(y+sin)2=1的位置关系是()A.相交且不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离,答案A由题意可得ab=6coscos+6sinsin=|a|b|cos120=23=-3,所以圆心(cos,-sin)到直线6xcos-6ysin+1=0的距离d=1,故直线与圆的位置关系是相交且不过圆心,故选A.,4.(2017安徽芜湖六校联考,9)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使MA=2MO,则圆心C的横坐标a的取值范围是()A.B.0,1C.D.,答案A因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|CD2+1,即13.由1得5a2-12a+80,解得aR;由3得5a2-12a0,解得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.,5.(2018山西晋中二模,14)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.,答案,解析设直线上一点为P,切点为Q,圆心为M,则|PQ|即切线长,|MQ|为圆M的半径,所以|PQ|=.要使|PQ|最小,需|PM|最小,设圆心M到直线y=x+1的距离为d,则d=2,所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|=.则切线长的最小值为.,6.(2018河北五个一名校联考,15)在圆x2+y2=4上任取一点,则该点到直线x+y-2=0的距离d0,1的概率为.,答案,解析圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离为=2,则直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相切,设直线x+y+m=0与直线x+y-2=0的距离为1,则=1,所以m=-或m=-3.当m=-3时,直线x+y-3=0与圆无交点;当m=-时,如图所示,设直线x+y-=0与圆交于A,B两点,易知满足题意的点在上,连接OA、OB,过点O作ODAB,可得sinOAD=,OAD=30,则AOB=180-302=120,由几何概型的概率公式可得所求概率P=.,答案B当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,联立得方程组解得或|AB|=2,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,圆x2+y2-2x-2y-2=0即(x-1)2+(y-1)2=4,圆心为C(1,1),圆的半径r=2,易知圆心C(1,1)到直线y=kx+3的距离d=,d2+=r2,+3=4,解得k=-,直线l的方程为y=-x+3,即3x+4y-12=0.综上,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=0.故选B.,方法点拨圆的弦长的常用求法(1)几何法:求圆的半径r,弦心距d,则弦长l=2;(2)代数法:列方程组,并消元,运用根与系数的关系及弦长公式:|AB|=|x1-x2|(k为直线AB的斜率,x1、x2分别为A、B的横坐标)求解.,思路分析当直线l的斜率不存在时,经检验符合题意;当直线l的斜率存在时,设出直线AB的方程,求出圆心到直线的距离d,利用d2+=r2求得直线的斜率,从而得出直线方程.,2.(2018河南郑州外国语中学3月调研,9)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,bR且ab0,则+的最小值为()A.2B.4C.8D.9,答案D由题意可知,圆C1的圆心为(-2a,0),半径为2,圆C2的圆心为(0,b),半径为1,因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以=2-1,即4a2+b2=1.所以+=(4a2+b2)=5+5+2=9,当且仅当=,且4a2+b2=1,即a2=,b2=时等号成立,所以+的最小值为9.故选D.,思路分析由题意可得两圆内切,根据两圆的标准方程求出圆心和半径,利用两圆内切的性质可得4a2+b2=1,再利用“1”的代换及基本不等式即可求得+的最小值.,解题关键根据两圆的内切关系得到4a2+b2=1及合理利用“1”的代换是解决本题的关键.,3.(2018河南中原名校4月联考,11)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A,B,以线段AB为直径的圆E上存在点P,Q,使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t),则实数t的取值范围为()A.(-,-11,+)B.-1,3C.(-,2-2+,+)D.2-,2+,答案D由题意可得直线AB的方程为x=y+1,与y2=4x联立消去x,可得y2-4y-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=-4,设E(xE,yE),则yE=2,xE=yE+1=3,又|AB|=x1+x2+2=y1+1+y2+1+2=8,所以圆E是以(3,2)为圆心,4为半径的圆,所以点D恒在圆E外.圆E上存在点P,Q,使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t)即圆E上存在点P,Q,使得DPDQ,设过D点的两直线分别切圆E于P,Q点,要满足题意,则PDQ,所以=,整理得t2-4t-30,解得2-t2+,故实数t的取值范围为2-,2+,故选D.,疑难突破设过D点的两直线分别切圆E于点P、Q,要满足题意,只需POQ,则PDE.,解题关键正确理解圆E上存在两点P,Q,使得以PQ为直径的圆过点D,并合理转化成关于t的不等式是解决本题的关键.,4.(2016福建福州八中六模,5)已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则a的取值范围为()A.(-3,3)B.(-,-3)(3,+)C.(-2,2)D.-3,3,答案A由圆的方程可知圆心为O(0,0),半径为2,因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离dr+1=2+1,则d=3,解得a(-3,3),故选A.,思路分析由题意得圆心(0,0)到直线l的距离d满足:d0),因为H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四部分,所以圆心H(m,n)一定是两互相垂直的直线x-y-1=0,x+y-3=0的交点,易得交点坐标为(2,1),所以m=2,n=1.(2分)又H截x轴所得线段的长为2,所以