高考理数　指数函数与对数函数

2.4指数函数与对数函数,高考理数(课标专用),考点一指数与指数函数1.(2016课标,6,5分)已知a=,b=,c=2,则()A.bacB.abcC.bcaD.cab,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案A因为a=,c=2=,函数y=在(0,+)上单调递增,所以,即ac,又因为函数y=4x在R上单调递增,所以,即ba,所以bac,故选A.,思路分析利用指数的运算性质得a=,c=,利用幂函数性质可得ac.再利用指数函数性质比较a,b得ba,从而得结论.,方法总结比较指数式的大小时,常利用相应函数的单调性来进行.,2.(2017课标,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x5z,答案D本题考查指数、对数的运算,指数函数及其性质,考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.解法一(特值法):令x=1,则由已知条件可得3y=2,5z=2,所以y=,z=,从而3y=2,则3y1,因为=,=,所以,所以.分别作出y=()x,y=()x,y=()x的图象,如图.则3y3y;由=1,从而只需比较,的大小,构造函数f(x)=(x0且x1),则f(x)=,当x(0,1)(1,e)时,f(x)0,所以f(x)在(0,1),(1,e)单调递减,在(e,+)单调递增,又e345,所以.因为=,所以,则3y1,0c1,则()A.acbcB.abcbacC.alogbc1,0bc,A错;0ac-1,又ab0,abbc-1abac-1,即abcbac,B错;易知y=logcx是减函数,0logcblogca,logbc-logac0,又ab10,-alogbc-blogac0,alogbcblogac,故C正确.解法二:依题意,不妨取a=4,b=2,c=.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.,方法指导本题利用特值法比较简单,注意取值时不能盲目,要选取易于比较的值.,考点一指数与指数函数1.(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.acbC.cabD.c0,函数f(x)=2|x|-1在(0,+)上为增函数,f(log25)f(log23)f(0),即bac,故选C.,2.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a0,a1)的定义域和值域都是-1,0,则a+b=.,答案-,解析当a1时,f(x)在-1,0上单调递增,则无解.当00,得a=6.,考点二对数与对数函数1.(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln2,c=lo,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.cab,答案D本题主要考查对数的大小比较.由已知得c=log23,log23log2e1,b=ln2ab,故选D.,方法总结比较对数的大小若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.,2.(2014辽宁,3,5分)已知a=,b=log2,c=lo,则()A.abcB.acbC.cabD.cba,答案C由指数函数及对数函数的单调性易知0lo=1,故cab.,3.(2014福建,4,5分)若函数y=logax(a0,且a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是(),答案B由题图可知y=logax的图象过点(3,1),loga3=1,即a=3.A项,y=在R上为减函数,错误;B项,y=x3符合;C项,y=(-x)3=-x3在R上为减函数,错误;D项,y=log3(-x)在(-,0)上为减函数,错误.,4.(2015湖南,5,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数,答案A解法一:函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则f(x)是奇函数.当x(0,1)时,f(x)=+=0,f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.解法二:同解法一知f(x)是奇函数.当x(0,1)时,f(x)=ln=ln=ln.y=(x(0,1)是增函数,y=lnx也是增函数,f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.解法三:同解法一知f(x)是奇函数.任取x1,x2(0,1),且x10,(1+x2)(1-x1)0,01,f(x1)-f(x2)0,f(x)=log2lo(2x)=log2xlog2(4x2)=log2x(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=-,当且仅当x=时,取“=”,故f(x)min=-.,7.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=(a0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取值范围是.,答案(1,2,解析当x2时,f(x)=-x+6,f(x)在(-,2上为减函数,f(x)4,+).当x2时,若a(0,1),则f(x)=3+logax在(2,+)上为减函数,f(x)(-,3+loga2),显然不满足题意,a1,此时f(x)在(2,+)上为增函数,f(x)(3+loga2,+),由题意可知(3+loga2,+)4,+),则3+loga24,即loga21,1a2.,考点一指数与指数函数(2015江苏,7,5分)不等式4的解集为.,C组教师专用题组,答案x|-1x2,解析不等式4可转化为22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x2,解得-1x2,故所求解集为x|-1baB.bcaC.acbD.abc,答案D由对数运算法则得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象得log32log52log72,所以abc,故选D.,一题多解由对数运算法则得a=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,log27log25log230,bc.选D.,4.(2016浙江,12,6分)已知ab1.若logab+logba=,ab=ba,则a=,b=.,答案4;2,解析令logab=t,ab1,0t1,由logab+logba=得,t+=,解得t=或t=2(舍去),即logab=,b=,又ab=ba,=()a,即=,亦即=,解得a=4,b=2.,5.(2015浙江,12,4分)若a=log43,则2a+2-a=.,答案,解析a=log43=log2,2a+2-a=+=+=.,考点一指数与指数函数1.(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A.y=sinxB.y=x3C.y=D.y=log2x,三年模拟,A组20162018年高考模拟基础题组,答案By=2x-2-x是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数.而y=sinx不是单调递增函数,不符合题意;y=是非奇非偶函数,不符合题意;y=log2x的定义域是(0,+),不符合题意;y=x3是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数符合题意.故选B.,2.(2018福建厦门一模,5)已知a=,b=lo0.3,c=ab,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.acbD.ba=,c=aba.c1且a2)在区间(0,+)上具有不同的单调性,所以a2,所以M=(a-1)0.21,N=N,故选D.,4.(2017河南南阳、信阳等六市一模,5)已知a、b(0,1)(1,+),当x0时,1bxax,则()A.0ba1B.0ab1C.1baD.10时,bx0时,1.1,ab.1aB.abcC.cbaD.bac,答案Da=,b=lo,c=log3,0lo=1,c=log3ac.故选D.,2.(2018广东肇庆二模,8)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则()A.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是增函数B.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是增函数C.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是减函数D.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是减函数,答案D由得x(-10,10),故函数f(x)的定义域为(-10,10),关于原点对称,又f(-x)=lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,而f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x2),y=100-x2在(0,10)上递减,y=lgx在(0,+)上递增,故函数f(x)在(0,10)上递减,故选D.,3.(2018河南商丘二模,8)已知a0且a1,函数f(x)=loga(x+)在区间(-,+)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga|x|-b|的图象是(),答案A函数f(x)=loga(x+)在区间(-,+)上是奇函数,f(0)=0,b=1,又函数f(x)=loga(x+)在区间(-,+)上是增函数,所以a1,所以g(x)=loga|x|-1|的定义域为x|x1,且在(1,+)上递增,在(0,1)上递减,故选A.,4.(2018山东淄博模拟,10)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln+,对任意aR,存在b(0,+),使f(a)=g(b),则b-a的最小值为()A.2-1B.e2-C.2-ln2D.2+ln2,答案D令y=ea,则a=lny,令y=ln+,可得b=2,令h(y)=b-a,则h(y)=2-lny,h(y)=2-.显然,h(y)是增函数,观察可得当y=时,h(y)=0,故h(y)有唯一零点.故当y=时,h(y)取得最小值,为2-ln=2+ln2,故选D.,5.(2016河南焦作一模,6)若函数y=a|x|(a0,且a1)的值域为y|00,且a1)的值域为y|0y1,则00且a1)的值域为R,x+-4能取遍所有的正数,又当x0时,x+-42-4,当x0时,x+-4-2-4,要满足题意,需2-40,解得a4.故实数a的取值范围是(0,1)(1,4.,一、选择题(每题5分,共25分)1.(2018福建漳州二模,7)已知函数y=xa,y=xb,y=cx的图象如图所示,则a、b、c的大小关系为()A.abcB.cbaC.cabD.b0且a1)在R上为减函数,故01或x1时函数y=loga(|x|-1)的图象可以通过函数y=logax的图象向右平移1个单位得到,故选C.,思路分析由函数f(x)=ax-a-x(a0且a1)在R上为减函数求得a的范围,结合所求函数的解析式,再根据对数函数的图象特征得出结论.,方法点拨要掌握函数的奇偶性和单调性,对数函数的图象特征以及图象平移的规律.,3.(2018广东汕头一模,10)函数f(x)=lnx+a的导数为f(x),若方程f(x)=f(x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为()A.(1,+)B.(0,1)C.(1,)D.(1,),答案A由函数f(x)=lnx+a可得f(x)=,x0使f(x)=f(x)成立,=lnx0+a,又01,lnx01,故选A.,思路分析将a用含x0的式子表示出来,进而由x0的范围得a的范围.,4.(2017河南平顶山一模,12)已知f(x)是定义在(0,+)上的函数.对任意两个不相等的正数x1,x2,都有0,记a=,b=,c=,则()A.abcB.bacC.cabD.cb0,故x1-x2与x2f(x1)-x1f(x2)同号,则x1-x2与同号,函数y=是(0,+)上的增函数,12,0.3230.2log25,bac.故选B.,思路分析由题意可得函数y=是(0,+)上的增函数,比较大小可得0.3230.2log25,进而可得答案.,5.(2016广东佛山期末,12)已知函数f(x)=ex+2(x0)与g(x)=ln(x+a)+2的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是()A.(-,e)B.(0,e)C.(e,+)D.(-,1),答案B由题意知,方程f(-x)-g(x)=0在(0,+)上有解,即e-x-ln(x+a)=0在(0,+)上有解,即函数y=e-x与y=ln(x+a)的图象在(0,+)上有交点,