科学计算与数学建模第5章 小行星轨道方程计算问题-线性方程组求解的直接法-5.6 平方根法-2017-02.pptx

5.6平方根法,利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解对称正定方程组的一种有效方法平方根法(Cholesky)。,设A为对称阵，即ATA，且A的所有顺序主子式均非零，则A可以唯一分解为：ALU。,u22,u11,U,11,11,1,u12u1n,u,u,un1,n,un1,n1,1,unn,1,0,DU,由于A非奇异，故U非奇异性，将U再分解为,0,从而有ALU,LDU,T,TT0,，又AAU（,DL）,定理5.6.1（对称阵的三角分解）设A为n阶对称阵，且A的所有顺序主子式均非零。则A可唯一分解为：ALDLT。其中L为单位下三角阵，D为对角阵。,由矩阵三角分解的唯一性可得,，于是。,0,UTL,ALDLT,当A为对称正定矩阵时，则A的所有顺序主子式,，而,。,i,D0,T,ALDL,Di,i1,设Ddiag(d1,d2,dn)，则d1D10,di0(i2,3,n)。于是：D,d2,d1,D,n,n,d,d,d1,d1,d2,d2,dn,1/21/2,DD,1/2,11,T,1/21/2T,1/2TT,ALDLLD,DL（LD,)(LD）LL,1/2,这里L1LD,为下三角阵。,定理5.6.2（对称正定矩阵的Cholesky分解）若A为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角矩阵L，使ALLT。当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的。,ii,l11,l0i1,2,n,ln1ln2lnn,l11l21Al21l22l22ln1ln2nn,由矩阵乘法及ljk0(jk)，则有,naijlikljk,j1likljkljjlij,21/2,jk,a11,ljj,l),l11,(ajj,j1k1,0,(j1,2,n),21,ij,ikjk,ij,ll,a,l,ljj,j1,a,21,a11,lk1,(j1,2,n;ij1,n),k1k1于是得解对称正定方程组AXb的平方根法计算公式：,i,ii,bi,l,i1,likyk,yk1,(i1,2,n),求解AXb，即可由下面两个三角形方程组求出由Lyb求y：,由LTxy求x：,n,i,ii,yi,l,lkixk,xki1,(in,n1,1),jj,jk,l2,k1,a,2jkjj,maxl,j.k1jn,maxaM,jj,jj,jk,l2)1/2,k1(j1,2,n),(aj,j1,由l,0，(j1,2,n)知,2,jk,jj,jj,1jn,la,maxa,则,，从而,这表明分解过程中元素ljk的数量级不会增长太快且对角元素ljj恒为整数。于是不选主元素的平方根法是一个数值稳定的方法。当求出L的第j列元素时，LT的第j行亦得出，所以平方根法大约需要n36次乘除法，约为一般直接LU分解法计算量的一半。由于A为对称阵，因此在计算机中只需存储A的下三角部分元素，共需n(n1)2个元素。,。,7,6,5x19,例用平方根法求解71358,8x210,其精确解为6x39,x*(1,1,2)T,解(1)分解计算（由公式容易算出）：,00,02.19850.9856,l,l,002.4495l2231l3233,l11,Ll21,02.8577,2.0412,0.9285,。,(2)求解两个三角方程：解Lyb得y(3.6741,0.2273,1.8570)T，,代入LTxy解得：x（1.0,1.0,2.0)T,可见，用平方根法解对称正定方程组时，计算L的元素lii需要进行开方计算，为避免开方计算，可对平方根法进行改进。,？,对称矩阵三角分解中的L和D如何计算？,5.6平方根法,弹幕问题：