2.2地图的数学基础课件

4高斯克吕格投影5常用地图投影6地图投影选择与判别7地图比例尺8地图分幅编号,地图的数学基础,第二章,高斯克吕格投影,又称等角横切椭圆柱投影几何意义：是将椭圆柱横箍在地球椭球体上（与之相切），然后按照等角条件，将中央经线东西两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。,变形规律：,1.角度没有变形；2.中央经线没有变形。3.其余经线皆有变形，且变形为正，距中央经线愈远变形愈大，纬度愈低变形愈大，最大变形在边缘经线与赤道的交点上；为了保证精度，采用分带投影方法。11万采用3分带。12.5万150万6分带,扁率：=(a-b)a第一偏心率:e2=(a2-b2)a2第二偏心率e2=(a2-b2)b2,6带是从0经线起，自西向东；我国在东经72136之间，包括11个带，即1323带。3带，是从东经130的经线始。全球为120个带。上图为6与3带的中经及带号的关系。,中经为X轴，北正；赤道为Y轴，东正；交点为原点。我国在北半球，X皆为正。Y有一半为负。避免Y为负，将各带的Y值加500公里，即纵轴西移500公里。由于各带投影完全相同，为区别不同带的点，Y前需再加带号，称为通用坐标。,1:25万、1:50万和1:100万绘经纬线(图廓是经纬线网)。1:5千、1:1万、1:2.5万、1:5万和1:10万图不绘经纬线网(图廓是经纬线网),绘有方里线网（整公里数直角坐标网）。,方里网密度,相邻两带的图幅拼接,加绘邻带方里网的图幅范围,西边,东边,西边全画，东边只画一排,在高斯-克吕格投影中经线是向两极收敛的，方里网的纵线是平行于中经的，便形成了经线与方里纵线之间角，称为子午线收敛角。,子午线收敛角在中经上、赤道上为0，纬度愈高，经差愈大（离中经愈远），收敛角愈大(3)。,子午线收敛角也称为坐标纵线偏角，通常注于地形图的下方（子午线收敛角为图幅内均值）。,磁北,地形图上三北方向线示意图,高斯-克吕格投影英美称为横轴墨卡托投影。美国使用的全球横轴墨卡托投影（UTM）是高斯-克吕格投影的一种变型，切改割。空间斜轴墨卡托投影美国称SOM投影。,2.通用横轴墨卡托投影UTM投影高斯-克吕格投影英美称为横轴墨卡托投影。美国使用的全球横轴墨卡托投影（UTM）是高斯-克吕格投影的一种变型，切改割。空间斜轴墨卡托投影美国称SOM投影。,此投影无角度变形，中央经线长度比为0.9996，距中央经线约180km处的两条割线上无变形。亦采用分带投影方法：经差6或3分带。长度变形0.04%,等角正轴切方位投影（又称球面极地投影）：特点：1.极点为中心；2.纬线为同心圆；3.经线为辐射的直线。4.中心部分变形较小，向外变形逐渐增大。,用于编绘两极地区国际：万地形图。,等积斜切方位投影；（又称兰勃脱投影地平投影）特点：1.投影中心随需要而定。2.中经为直线，纬线为同焦点椭圆弧,主要用于编制亚洲、欧洲、北美等大地区图。,陆半球图。,等积斜切方位投影应用举例：,水半球图,等积斜切方位投影应用举例：,投影中心：东105，北30；：V,中国全图,1,等距正轴割圆锥投影：特点：1.纬线呈同心圆弧，经线呈辐射的直线束；2.两条标准纬线无长度变形；3.两条标纬之间，变形为负，两外侧为正；,适于：东西方向长、南北方向稍宽的区域。如苏联全图。,等积正轴割圆锥投影特点：1.经纬线形状同等距正轴割圆锥投影。2.由.sinl条件知，经线以纬线缩小的程度放大。则两标纬外侧经线放大。内侧缩小；变形情况如图示。3.角度变形：离标纬愈远，变形则愈大。,适于1.东西南北近乎等大的地区，2.要求面积正确的各种图。,经纬线形状,变形规律,等角正轴割圆锥投影,特点：1.经纬线形状同等距正轴割圆锥。2.由保角知：mn，经线与纬线作相同的缩放，两标纬内侧缩小，变形为负，外侧放大，变形为正。3.标纬上无变形，离开标纬愈远，变形愈大。,适于：要求方向正确、形状相似的自然图、（风向图、洋流图等）和航空图，并广泛用作各种比例尺地形图的数学基础,一、在百万分一普通地图中应用1.1962年波恩百万分一国际地图会议上提出了使用等角正割圆锥投影。2.1978年我国用作1：100万分幅地形图的投影。3.投影特点：.投影带的划分：国际标准，纬差4为一带，从赤道起，由南到北共分15次（我国位于北纬460）独立投影，单独计算坐标。每带的两标纬按下式近似求出：1=0；=,.同带的各图坐标相同，每带只需计算一幅（纬差4，经差6）的投影值。.投影变形微小，长度变形边纬、中纬上为0.03%，面积变形为0.06%，变形分布比较均匀。,双标准纬线,投影变形规律,.拼接有裂隙：因按纬差分带投影，沿经线拼接时，由于同带投影，则无裂隙；沿纬线拼接，拼线处于不同的带，曲率不同，拼接有裂隙。两幅拼接：裂隙角4.82角距0.36mm；四幅拼接：9.6251.43mm；),.直角坐标：以图幅的中经为X轴，中经与图幅南边纬的交点为原点，过此点的切线为Y轴。.因经纬网以中经为轴左右对称，故只需求出一侧经差l、2、3的经纬线交点的坐标，另侧变号即可。有坐标表供查。,二、1100万世界航空图中应用,此图自南纬80北纬84采用该投影。两极地区采用等角方位投影。,南80北84,两极地区,等角正切圆柱投影是荷兰学者墨卡托于1569年所创，又名墨卡托投影。其经线为竖直等距平行直线，纬线为非等距垂直于经线的平行直线。,墨卡托投影的变形规律,1.投影图上各纬线与赤道等长，被放大了1/cos倍，由mn知：则经线亦作了同样的放大。2.离赤道愈远（纬度愈高），纬线间距愈大。面积变形愈大（是纬线增大倍数的平方）。北极地区的格陵兰岛原为南美洲的19，图上竟比南美洲大。,格陵兰岛,南美洲,好望角墨尔本,墨卡托投影将等角航线投影为直线（即斜航线），按此直线的方位角航行，一直可以到达目的地。,等角航线不是大圆航线（正航线）例：好望角墨尔本，等角航线为6020，大圆航线为5450海里。,地图上等角航线（除经线和赤道外），在球面上是以极点为渐近点的螺旋曲线。,墨卡托投影,等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线。等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。,大圆航线：地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。,4.4世界地图投影,球心投影（透视方位投影中的一种）图上的大圆航线,正轴等角圆柱投影墨卡托投影。,墨卡托投影应用：1.在航海业上得到广泛的应用。2.还用于编制赤道附近等国家和地区的地图，3.作世界时区图和卫星轨迹图。,用墨卡托投影表示卫星轨迹,哈默（Hammer）投影,该投影的横坐标是等面积圆柱和伪圆柱投影（桑逊投影）两者的算术平均值，纵坐标由等面积条件导出。投影属于等面积性质。用于制作世界地图。,其它投影简介,桑逊分瓣投影,为了改善桑逊投影离中经愈远、纬度愈高变形愈大。对不同区域采用不同的中央经线，而在赤道上连接在一起分瓣。本图是保持世界上陆地完整而将海洋部分裂开。,其它投影简介,古德分瓣投影,其它投影简介,摩尔威特古德分瓣投影,其它投影简介,摩尔威特古德投影,4.4世界地图投影,圆锥、伪圆锥组合分瓣投影,利用圆锥和伪圆锥投影在某一条纬线处进行组合。该投影的经纬线网和变形，与所采用的各个组合投影相同。为了保持大陆完整，而将南半球海洋裂开。它应用于小比例尺大地区的地图。,其它投影简介,心形投影,以北极为投影主点，中央经线等长并保持等面积。该投影中仅北极附近保持较正确的图形。,其它投影简介,星形投影,中央部分是一个正轴等距离方位投影，其外部是机械划分的。纬线为同心圆圆弧，经线则等分地会聚于五个点，形成一个五角星。可供地图集及地图制图书刊装饰用。,其它投影简介,正方体中心投影,将地球内接于一个正立方体中，以中心投影将球面上经纬网投影到正立方体面上进行展开。该投影中所有经线和赤道投影为直线，纬线为曲线。该投影用作世界地图装饰图案。,其它投影简介,三角形等面积投形,经线为交于一点的倾斜直线，纬线为平行线，具有等面积性质。我国清代内府舆图用此投影；它是以东侧经线、西侧的经线与纬线倾斜成45角而绘制的。,其它投影简介,阿木狄罗（Armidillo）投影,有立体感。给人以自球剥离下来而没有展平的印象。此投影对欧洲及附近较好。边缘部分有变形大。属于任意性质。,其它投影简介,某种透视方位投影,选取适当的视点，使制图区域的远处背景出现弧形的地平线和部分天空，而经纬线网呈现球状感，具有立体效果。作为宣传鼓动图的数学基础。如透视方位投影中的外心投影、正射投影。,其它投影简介,放大镜式投影,其它投影简介,6地图投影的选择与判别,1.地图投影的选择2.地图投影的判别3.地图投影变换,返回,1地图投影的选择.主要指中、小比例尺地图，.不包括国家基本比例尺地形图。.小区域大比例尺地图，不论采用什么投影，变形都是很小的。,影响地图投影选择的因素,1.制图区域的地理位置2.形状的影响3.范围对投影选择的影响4.比例尺5.地图的内容、主题6.出版方式,返回,1制图区域的地理位置,决定投影的种类，例如：在极地，应选正轴方位；在赤道，应选横轴方位、正轴圆柱；在中纬，应选正轴圆锥或斜轴方位。,2.形状的影响,中纬地区如沿纬线延伸，应选正轴圆锥；如沿经线延伸，应选多圆锥投影；如呈圆形，则应选斜轴方位。低纬地区，如沿赤道延伸，应选正轴圆柱；如呈圆形，选横轴方位为宜,3.范围对投影选择的影响：,范围不大，无论什么投影，各处变形差异都不太大。范围大，需慎重选择。,4比例尺,大、中比例尺地形图，应选变形很小的投影。小比例尺图，由于概括程度高，定位精度相对低，如选正轴圆锥投影。,5地图的内容,主题和内容影响投影选择：如交通图、航海图、航空图、军用地形图等要求等角投影；自然和社会经济地图的分布图、类型图、区划图等要求选用等积投影。如世界时区图，为使时区的表现得清楚，只能选择经线投影成直线的正轴圆柱投影。如中国政区图，为能完整连续地表示，应选用斜轴方位。教学用图，选择变形不大的任意投影，如等距投影,6出版方式,单幅图的投影选择比较简单；系列图或图集中的一个图组，应选择一变形性质的投影，便于比较；整个地图集，是由不同主题的图组所构成，在投影选择上要有变化，应采用同一系统的投影，根据情况，在变形性质上变化。,2.地图投影判别,有一些地图不注明投影，要运用投影知识进行分析、判断，投影的判别，主要小比例尺地图。.判别地图投影的类别，一般是先依据经纬线形状确定属何种投影系统，如方位、圆锥、圆柱等；.其次是判定投影的变形性质，如等角、等积或任意投影；最后是确定投影的形式。,.常用投影的经纬线形状特征,.确定投影变形性质,例如经纬线不正交，则不是等角；在同一纬度带内，经差相同的各个梯形面积差别较大，不是等积投影；在一条呈直线的经线上若相同纬差的各段纬距不相等，则肯定不是等距投影,只须量纬线间距离从投影中心向南、北方向的变化。若相等，则为等距投影；若逐渐扩大，为等角投影；若逐渐缩小，为等积投影。,例如，对圆锥投影：,对一般投影的确定,（1）.从制图用表中查地球椭球体上相应经线和纬线弧长。（2）.按地图主比例尺计算相应的长度比或面积比和角度变形。（3）.依据等角、等积和等距的投影条件，判定投影变形性质：,3.地图投影变换,.格网转绘法将原投影网格和欲新编图的投影网格对应加密,在对应的微小网格内，手工方法逐点、逐线转绘。,.蓝图嵌贴法将地图资料按新编地图比例尺复照后晒成蓝图，利用纸张湿水后的可缩性，切块镶嵌在新编地图投影网格的相应位置上。,.数字化方法的投影变换（1）.用数字化仪将原始投影的地图资料变形数字资料（2）.按一定的数字方法进行投影坐标变换。（3）.用绘图仪输出成新投影图形。,地图投影变换,其他方法,公式法过程图,.数字地图的投影变换（公式法）投影变换的一般公式两个投影面上对应点的函数关系：对变换前后的两种投影，分别有如下表达式：原投影的反解公式:,代入后一投影方程有:如果不能确切判定地图资料的投影公式和常数,则可采用下面的多项式完成变换。,8地图比例尺,地图比例尺的概念地图上一直线段与地面上相应直线段水平投影长度之比。,2.地图比例尺分类,1）按地图投影变形分类主比例尺对地球半径缩小的比率。投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺投影面上有变形处的比例尺。2）按比例尺大小分类比例尺大小是以比例尺的比值来衡量的，它的大小与分母值成反比。,3.地图比例尺形式,1).数字式比例尺用阿拉伯数字形式表示的比例尺，如1：2000。2).文字式比例尺用文字注释方式表示的比例尺，亦称说明式比例尺，如五万分之一、图上1厘米等于实地1千米。3).图解式比例尺直线比例尺，以1cm为基本尺段，呈直线图形的比例尺,ii.斜分比例尺，,又称微分比例尺，是一种根据相似三角形原理制成的图解比例尺，它可以量取基本长度单位的1,2.639单位长,复式比例尺，系由主比例尺与局部比例尺组合成的比例尺，又称投影比例尺。分经线比例尺和纬线比例尺两种。,iii.复式比例尺:又称投影比例尺，是一种根据地图主