高数5-3ppt课件

1,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,内容回顾,2,【例6】求,【解】,【分析】这是型不定式,应用洛必达法则,求导去掉积分号.,思考:去掉积分号还有没有其它方法?,3,【证】,4,【证】,令,5,【解】,【补充1】,6,【解】,7,【练习】求,【解】,令,8,第三节定积分的换元法和分部积分法,一、换元公式,三、小结思考题,二、分部积分公式,9,【定理】,一、换元公式,10,【应用换元公式时应注意】,(1),(2),三换,换积分限上限对上限，下限对下限.,换被积函数,换微分,11,【例1】计算,【解】,令,12,【例1】计算,13,【例2】计算,【解】,容易犯错误,14,【例3】计算,【解】,原式,15,【例4】计算,【解】,令,原式,另解:,16,【证】,17,奇函数,【例6】计算,【解】,原式,偶函数,单位圆的面积,18,【例7】,设函数,【解】,换元令,于是,19,【总结】,定积分的证明题一般用到积分区间的分割性质、换元法、定积分与积分变量无关的特性。,令,【例8】,【证】,【分析】先分割、再换元，最后改变积分变量,20,【例9】设f(x)是以T为周期的连续函数，则对任意a，有,【证】,令,则,【分析】先分割、再换元，最后改积分变量,【一般地】,21,二、分部积分公式,【例1】计算,【解】,令,则,22,【例2】计算,【解】,23,【例3】计算,【解】,24,【例4】证明定积分公式(华里士（Wallis）公式),25,积分关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,【证】,设,26,于是,27,定积分的分部积分公式,三、小结,定积分的换元法,定积分的证明题一般用到积分区间的分割性质、换元法、定积分与积分变量无关的特性。,28,第四节反常积分,一、无穷限的反常积分,二、无界函数的反常积分（瑕积分）,三、小结思考题,29,（2）瑕积分（被积函数无界）,以上各节所讲定积分是正常情况下的积分，它满足两条：,(1)积分区间为有限区间a，b,(2)被积函数为有界函数,（尤其常见的是连续函数）,（1）无穷限的反常积分（积分区间无限）,反常积分,30,一、无穷限的反常积分,31,32,33,【注】,由上述定义及牛莱公式可得如下结果：,否则称发散.,（1）,（2）,34,（3）,35,【例1】计算反常积分,【解】,几何意义,它是位于曲线的下方，x轴上方、两端无限延伸的图形的面积。但却是有限值,36,【例2】计算反常积分,【解】,37,【证】,38,二、无界函数的反常积分（瑕积分）,【定义】,如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，则称点a为函数f(x)的瑕点（又称无界间断点）,39,40,定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.,41,【注意】,由上述定义及牛莱公式可得如下结果：,极限存在，称反常积分收敛；否则称反常积分发散.,极限存在，称反常积分收敛；否则称反常积分发散.,42,收敛；否则当至少有一个不存在时，称反常积分发散.,43,【例5】计算反常积分,【解】,必为瑕点,44,【思考题1】,【思考题解答】,45,【思考题2】,【解】,令,46,【思考题解