中考数学压轴题集锦.pdf

中考数学专题 几何证明压轴题 1、如图，在梯形ABCD中，ABCD，BCD=90,且AB=1，BC=2， tanADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且EDC=FBC， DE=BF，试判断ECF的形状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，BEC=135时，求 sinBFE的值. 解析 （1）过A作DC的垂线AM交DC于M, 则AM=BC=2. 又tanADC=2,所以.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为. 所以，DECBFC 所以，. 所以， 即ECF是等腰直角三角形. （3）设,则，所以. 因为，又，所以. 所以 所以. 2、已知：如图，在ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是 对角线，AGDB交CB的延长线于G （1）求证：ADECBF； （2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证 明你的结论 解析 （1）四边形ABCD是平行四边形， 1C，ADCB，ABCD 点E 、F分别是AB、CD的中点， AEAB ，CFCD AECF ADECBF （2）当四边形BEDF是菱形时， 四边形 AGBD是矩形 四边形ABCD是平行四边形， ADBC AGBD ， 四边形 AGBD 是平行四边形 四边形 BEDF 是菱形， DEBE AEBE ， AEBEDE 12，34 1234180， 2223180 2390 即ADB90 四边形AGBD是矩形 3、如图131，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的 两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜 边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转 （1）如图132，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观 察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明 你的猜想； （2）若三角尺GEF旋转到如图133所示的位置时，线段FE的延长线 与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于 点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成 立，请说明理由 图133 A B D G E F O M N C 图132 E A B D G F O M N C 图131 A( G ) B( E ) C O D( F ) 解析（1）BM=FN 证明：GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ABD =F =45，OB = OF 又BOM=FON， OBMOFN BM=FN （1） BM=FN仍然成立 （2） 证明：GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方 形， DBA=GFE=45，OB=OF MBO=NFO=135 又MOB=NOF， OBMOFN BM=FN 4、如图，已知O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、 OD，且OD5。 （1）若，求CD的长； （2）若 ADO：EDO4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积 （结果保留）。 解析 （1）因为AB是O的直径，OD5 所以ADB90，AB10 在RtABD中， 又，所以，所以 因为ADB90，ABCD 所以 所以 所以 所以 （2）因为AB是O的直径，ABCD 所以 所以BADCDB，AOCAOD 因为AODO，所以BADADO 所以CDBADO 设ADO4x，则CDB4x 由ADO：EDO4：1，则EDOx 因为ADOEDOEDB90 所以 所以x10 所以AOD180（OADADO）100 所以AOCAOD100 5、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直 线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于 点F，直线CF交直线AB于点G. （1）求证：点F是BD中点； （2）求证：CG是O的切线； （3）若FB=FE=2，求O的半径 解析 (1)证明：CHAB，DBAB，AEHAFB， ACEADF ，HEEC，BFFD (2)方法一：连接CB、OC， AB是直径，ACB90F是BD中点， BCF=CBF=90-CBA=CAB=ACO OCF=90,CG是O的切线-6 方法二：可证明OCFOBF(参照方法一标准得分) (3)解：由FC=FB=FE得：FCE=FEC 可证得：FAFG，且ABBG 由切割线定理得：（2FG）2BGAG=2BG2 在RtBGF中，由勾股定理得：BG2FG2BF2 由、得：FG2-4FG-12=0 解之得：FG16，FG22（舍去） ABBG O半径为2 6、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3）， A的半径为2过A作直线平行于轴，点P在直线上运动 （）当点P在O上时，请你直接写出它的坐标； （）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与A的位置关系，并说明 理由. 解析 解: 点P的坐标是（2,3）或（6,3） 作ACOP,C为垂足. ACP=OBP=,1=1 ACPOBP 在中,又AP=12-4=8, AC=1.94 1.942 OP与A相交. 7、如图，延长O的半径OA到B，使OA=AB， DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线， C A B D O E 垂足为点C. 求证：ACB=OAC. 解析 证明：连结OE、AE，并过点A作AFDE于点F， （3分） DE是圆的一条切线，E是切点， OEDC， 又BCDE, OEAFBC. 1=ACB，2=3. OA=OE， 4=3. 4=2. 又点A是OB的中点， 点F是EC的中点. AE=AC. 1=2. 4=2=1. 即ACB=OAC. 8、如图，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上， 梯子与地面的倾斜角为 求AO与BO的长； 若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. 如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并 且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米； 如图，当A点下滑到A点，B点向右滑行到B点时，梯子AB的 中点P也随之运动到P点若POP ，试求AA的长 解析 中,O=,= ,OAB=，又4米， 米. 米. - (3分) 设在中, 根据勾股定理: - (5分) - (7分) AC=2x= 即梯子顶端A沿NO下滑了米. - (8分) 点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点 ， - (9分) - (10分) - (11分) - (12分) 米. - (13分) 9.（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点 B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点 O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点 A移动,设点P、Q移动的时间为t秒 (1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，APQ与AOB相似？ (3) 当t为何值时，APQ的面积为个平方单位？ 解：（1）设直线AB的解析式为ykxb 由题意，得 解得 所以，直线AB的解析式为yx6 （2）由AO6， BO8 得AB10 所以APt ，AQ102t 1 当APQAOB时，APQAOB 所以 解得 t(秒) 2 当AQPAOB时，AQPAOB 所以 解得 t(秒) （3）过点Q作QE垂直AO于点E 在RtAOB中，SinBAO 在RtAEQ中，QEAQSinBAO(10-2t)8 t所以，SAPQ APQEt(8t) 4t 解得t2（秒）或t3（秒） （注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分） 点拨：此题的关键是随着动点P的运动，APQ的形状也在发生着变 化，所以应分情况：APQAOB90APQABO这样，就 得到了两个时间限制同时第（3）问也可以过P作 PEAB 10（南充，10分）如图257，矩形ABCD中，AB8，BC6，对角 线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）设APx，四边形PBCD的面积 为y （1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围 （2）有人提出一个判断：“关于动点P，PBC面积与PAD面积之和为 常数”请你说明此判断是否正确，并说明理由 解：（1）过动点P作PEBC于点E 在RtABC中，AC10， PCACAP10x PEBC，ABB