应用数理统计第1章VIP

第一章抽样分布,1.1基本概念2.2抽样分布,一、母体1、母体是指被研究事物的全体，构成母体的元素称为个体。在数理统计中母体一般为一些具有相同性质的数据的集合，用随机变量X表示。个体用X1表示。例如：某地区人体身高X；甲身高为X1,1.1基本概念,2、母体的分布：母体X为随机变量，随机变量X的分布称为母体的分布。用F(x,)表示，当然，如果是离散型，可用分布律p(x)=P(X=x)，对于连续型随机变量，可用密度函数f(x,)。是未知参数。,3、母体的数字特征：用母体的分布计算的数学期望、方差等数字特征。,（1）母体平均数=E(X)（2）母体方差=D(X)称为母体标准差,（3）母体k阶原点矩k=E(Xk)（4）母体k阶中心矩k=E(X-EX)k,注意：母体的分布及数字特征是客观存在但往往未知，数理统计的任务之一研究母体的分布及数字特征。所用工具是子样。,二、子样1、子样：由若干个体构成的集合称为子样。X1,X2,Xn称为容量为n的一个子样。,2、简单随机子样：X1,X2,Xn满足（1）用随机原则抽样（2）相互独立同分布（与母体分布相同）,注:（1）数理统计的子样均为简单随机子样；（2）如何取得简单随机子样。其一是随机性，传统的做法是母体的所有元素编号，按随机抽样方法抽取号码。,其二是独立性，抽样时采用有放回抽样则一定是独立的，但实际情况一般是不放回抽样，此时，如果母体元素个数N充分大，而子样容量相对小n（n/N0.1），则可视为独立抽样。,3、子样观察值（子样值）：子样X1,X2,Xn在试验前是n维随机变量，而试验后是一组数值，称为子样值，表示为x1,x2,xn。例：X为人体身高，计划抽取100人测身高，此时为随机变量，具体实施为子样值。,4、子样分布：子样分布为子样的频数分布（将在第三章给出）,（1）子样平均数,5、子样的数字特征,（2）子样方差,S称为子样标准差,母体特征=E(X)=D(X)E(X-EX)2,（3）子样k阶原点矩,对子样值，x1,x2,xn可以计算出,（4）子样k阶中心矩,数理统计的基本思路：,母体分布F(x,)数字特征，k,k（未知）,抽样,试验,x1,x2,xn,子样分布及子样数字特征,推测,三、统计量,1、统计量的定义：对来自母体X的子样X1,X2,Xn，如果子样函数g(X1,X2,Xn)不显含任何未知参数，则称g(X1,X2,Xn)为一个统计量，对子样值x1,x2,xn，计算出g(x1,x2,xn)为统计值。,例：是统计量,（,未知）不是统计量,2、常用统计量,（1）子样数字特征,（2）子样位置统计量：子样X1,X2,Xn,按顺序排序为,1.2抽样分布,一、四个分布,（一）标准正态分布,1、标准正态分布的密度函数,2、标准正态分布上侧分位数,（1）上侧分位数的定义：满足,（2）的求法：,的满足,，故可反查表，则得,（3）的概率对称点,（图形对称）,例：,例：,（二）2分布（卡方分布）,1、2分布的定义：设X1,X2,Xn独立同分布，均服从标准正态分布，即,记，称Y服从自由度为n的2分布,记作,注：自由度的意义是一个平方和中独立的变量，其计算可用平方和的项数减变量的线性关系式的个数。例：子样方差,其项数为n，令,可得,故的自由度为n-1,2、2(n)的密度函数的图形：由于2分布是标准正态分布的平方和，故2分布总是非负的，因此密度函数的图形是在y的右方的。在y的左方为0。,2(n)的密度函数的图形,3、上侧分位数,（1）定义：,满足,（2）的概率对称点,（3）的求法,例：,（三）t分布（student分布）,1、t分布的定义：设X与Y相互独立，且,记,称T服从自由度为n的t分布，记作,2、t分布的密度函数的图形：由于标准正态分布关于y轴对称，而分母是自由度为n的2分布，n充分大，接近一个常数，可以证明t分布的密度函数关于y轴对称。,t分布的密度函数的图形,3、上侧分位数,（1）定义：,满足,（2）的概率对称点,（图形对称）,（3）的求法,例：,（四）F分布,1、F分布的定义：设U与V相互独立，且,2、F分布的密度函数的图形：由于F分布的分子与分母都是2分布，故F分布总是非负的，因此密度函数的图形是在y的右方的.在y的左方为0。,的F分布记作,3、上侧分位数,（1）定义：,满足,（2）的概率对称点,的密度函数的图形,4、的性质,设，则,5、与的关系,独立,X1,X2,Xn,二、抽样分布,（一）单母体下的抽样分布：X是母体，X1,X2,Xn来自母体X的子样，子样平均数及子样方差为,1、基本定理：设母体,（1）,（2）,（3）与相互独立,（证明略）,，则有,2、单正态母体下抽样分布。母体,（1）,，则有,证明,由t分布的定义，有,3、单一般母体下抽样分布。母体X,（条件：大子样n30）,（二）两母体下的抽样分布：X是母体，来自母体X的子样，子样平均数及子样方差为，,Y是另一母体，来自母体Y的子样，子样平均数及子样方差为，X与Y独立,1、两正态母体下抽样分布。母体,（1）