大学物理竞赛辅导――振动与波动

振动与波动,主讲教师：惠娟利,机械振动,一、简谐振动的定义,1、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的规律变化，称这个物体在作简谐振动或简谐运动。,2、两个特例：“弹簧振子”和“单摆”。,弹簧振子,单摆,动力学特征：,动力学方程：,运动方程：,弹簧振子,单摆,注1：弹簧振子水平放置，竖直放置或放在固定的光滑斜面上都可以做简谐振动。,注2：,例1.如图，用六根拉伸的长度均为10cm的弹簧将一质量m为10g的物体悬挂起来。每个弹簧上的拉力均为5N，如果将物体垂直于图面向外稍微拉动一下，然后释放，则该物体m振动的频率为_Hz,解：,设物体相对图面的垂直位移为x，,弹簧相对面的倾角为，,物体受弹簧合力(指向图面)为F,则：x=lsin，F=6fsin6f,其中l为弹簧长度，f为一根弹簧拉力,f阻碍的增大，fr0处声波振动振幅为A=_。,声波是纵波,解：,波的强度(能流密度),r0处的平均能流密度为,r处的平均能流密度为,不计能量的损耗，有,(2001.一.2),4、惠更斯原理,（1）原理内容:,介质中波传到的各点,都可看作是发射子波的波源(点波源)。在以后的任一时刻,这些子波面的包络面（包迹）就是该时刻的波前。,（2）应用：,已知某时刻的波振面，用作图法确定下一时刻的波振面。,t,t+t,用惠更斯原理作图法解释波的衍射现象。,用惠更斯原理作图法解释波的反射和折射规律。（参考教材P187-188）,5、波的干涉,（1）波的叠加原理,波动互不相干地按自身的方式传播，在波的交汇处，质元的振动是相交汇的各个波单独传播时激发的振动之和。,同频率、同振动方向、相位差恒定。,（2）相干条件：,（3）干涉规律,相干波源：,两列相干波在P点引起的振动,P,叠加结果：,干涉加强的条件：,干涉减弱的条件：,10=20时，,相长干涉,相消干涉,三、驻波,1、驻波的形成：两列振幅相同的相干波在同一直线上相向传播时交汇处产生的干涉。,2、驻波的方程,3、驻波的特点,（2）频率特点：,（3）振幅特点：,（4）相位特点：,各质点同频率,（5）能量特点：,能量不传播,（1）驻波的波形：,不随时间改变,4、实际驻波的产生,5、半波损失,（对入射）,（1）波密波疏，反射点无相位突变；,（2）波疏波密，反射点相位突变.,“半波损失”,弦的固有频率（本征频率）,（3）反射波及其描述,入射波波形延拓，“砍”掉半个波形后平移至分界面处再翻折即得到反射波波形,入射波波形延拓，再翻折即得到反射波波形,（3）反射波及其描述,例10.如图所示，在坐标原点o处有一波源，它所激发的振动表达式为yo=cos2pnt。该振动以平面波形式沿x轴正方向传播，在距波源d处有一平面将波全反射回来（反射时无半波损失），则在坐标x处反射波的表达式为_.(1984.二.1),解：,在波源坐标原点o处的振动方程为,入射波使B点振动的振动方程为,上式亦为反射波使B点振动的振动方程。,反射波使P点振动的振动方程为：,答案：(3),例11.在一根线密度为=1g/m的弦上形成驻波，弦的张力为T=10N，若入射波与反射波分别为,波的频率为=50Hz,则在t=1/3s时的波形曲线为(),(1987.一.1),例11.在一根线密度为=1g/m的弦上形成驻波，弦的张力为T=10N，若入射波与反射波分别为,波的频率为=50Hz,则在t=1/3s时的波形曲线为(),(1987.一.1),解：,驻波,正与图形()相符。,例12.驻波可看作两列行波叠加而成，下图中圆点（）代表一维驻波的波节位置，叉（）代表其波腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图依时序图（a）、（b）、（c）所示。试在各图中画出另一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表示）,(1995.一.8),解：两列行波叠加形成驻波时，它们在各波腹处引起的分振动必同相，而在波节处的必反相，据此可绘出另一列行波相应时刻的波形图。,例13.标准声源能发出频率为Hz的声波，一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，若在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍频增加，音叉的故有频率_.将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，当管中空气柱高度L从零连续增加时，发现在L=0.34m和1.03m时产生相继的两次共鸣，由以上数据算得声波在空气中的传播速度为_.,解：,拍频为1.5Hz时有两种可能,音叉粘上橡皮泥后质量增加，频率n应减小，,(1993.一.6),此时拍频增加，由此可判断出,共鸣时气柱内形成驻波，,共鸣时的气柱高度应满足关系,故第一、二此共鸣时气柱的高度差,四、机械波的多普勒效应(DopplerEffect),当波源S和接收器R有相对运动时,接收器所测得的频率R不等于波源振动频率S的现象。,参考系为媒质；,S和R相互靠近时Vs,VR为正；,波源振动频率S，波的频率(媒质的振动频率)，接收到的频率R。,1、波源静止,接收器运动(VS=0,设VR0),媒质的振动频率：=S,波相对于观察者的速度：,波长：,（R）,单位时间内R所接收的波的个数为(感觉到的频率)：,2、接收器R静止,波源运动(VR=0,VS0),t=0时S发出第一个“波峰”,经历TS时间，S前进VSTS，再发第二个“波峰”，两波峰之间的距离即就是介质中缩短了的波长：,3、接收器、波源都运动,（SR）,设VS、VR均0,若波源和观察者的运动不在两者的连线上，VS，VR应为速度在连线上的分量。,例14.声波在空气中的传播速度为u1，在铜板中的传播速度为u2，设频率为的声波从图中静止的波源S发出，经空气传播到以速度Vu1向前运动的平行铜板，在铜板的正前方有一静止的接收者B,则S接收到的由铜板反射回的声波频率1=_，B接收到的由铜板反射回的声波频率2=_。(与V平行）,(1994.一.6),解：,波源S静止，以速度V运动的铜板左侧接收到的声波频率为,(1),S接收到的运动的铜板上反射回的声波频率为,(2),B处接收到的运动铜板前方发射的声波频率为（声波在铜板中传播，虽然速度改变了，但频率不变）,(3),由(1)(2)得,由(1)(3)得,例15.一维谐振子沿x轴作振幅为A的简谐振动。求证：在振动区间内任一x处振子出现的概率线密度（即x处附近无限小区间内单位距离上振子出现的概率）,证：因振子在x