大一高数上 PPT课件 第五章

第五章定积分,第一节定积分的概念与性质,问题的提出定积分的定义定积分的性质,1、求平面图形的面积,一、问题的提出,会求梯形的面积，,曲边梯形的面积怎样求？,考虑如下曲边梯形面积的求法。,思路：利用极限由近似到精确。,一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,用矩形面积近似代替曲边梯形面积：,f(xi),f(x1),f(x2),f(xi)xi,在a,b中任意插入n-1个分点记为,得n个小区间：xi1,xi(i=1,2,n),把曲边梯形分成n个窄曲边梯形,任取xixi1，xi,以f(xi)Dxi近似代替第i个窄曲边梯形的面积,区间xi1,xi的长度Dxixixi1,曲边梯形的面积近似为：A,记maxDx1,Dx2，,Dxn则,曲边梯形的面积的精确值为：A=,曲边梯形的面积近似为：A,2、求变速直线运动的路程,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度以其中某时刻的速度来近似，求出各小段上路程的近似，再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割：,路程的精确值,（2）求和：,（3）取极限：,8/29,问题,以上两个例子，一个是几何问题，求的是以曲线y=f(x)为曲边，以a,b为底边的曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时间区间a,b所走过的路程.,归纳,它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）.,解决方法：,通过局部取近似,求和取极限的方法，把总量归结为求一种特定和式的极限.,类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）.,这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念.,二、定积分的定义,设函数f(x)在a，b上有界，在a，b中任意插入n-1个分点ax0x1x2xn1xnb，把区间a，b分成n个小区间x0，x1，x1，x2，xn1，xn，各小段区间的长依次为Dx1x1x0，Dx2x2x1，Dxnxnxn1任取xixi1，xi(i1，2，n)，作函数值f(xi)与小区间长度Dxi的乘积f(xi)Dxi(i1，2，n)，并作出和,记maxDx1,Dx2,Dxn.,记为,积分上限,积分下限,积分和,即,注：,根据定积分的定义，曲边梯形的面积为,变速直线运动的路程为,A,定理1,定理2,三、存在定理,定积分的几何意义：,在区间a，b上，当f(x)0时，积分,在几何上表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积；,当f(x)0时，由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，,y=-f(x),y=f(x),定积分在几何上表示上述曲线边梯形面积的负值：,=-S,=-,几何意义：,例1利用定义计算定积分,解,练习利用定义计算定积分,解,在0,1上连续，故f(x)在0,1上可积.,将0,1n等分，左侧取点,等比数列求和,利用几何意义求定积分：,例2求积分,解以y=1-x为曲边，以区间0,1为底的曲边梯形为一直角,三角形，,所以,四、定积分的性质,补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,性质1,性质2,则,性质3（关于积分区间的可加性）,*例若,补充：不论的相对位置如何,上式总成立.,性质4,推论1（比较定理）,性质5（保号性）,推论2,如果在区间a,b上f(x)1,则,解,于是,（此性质可用于估计积分值的大致范围）