2007江苏高考数学试卷含答案（校正精确版）

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）一、选择题1下列函数中，周期为的是（ ）A B C D【解析】由，得正确答案为（）.2已知全集，则为（ ）A B C D【解析】，是不含的整数，故选（）.3在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ）A B C D【解析】由，得，故，设，则，故选（）.4已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： 其中正确命题的序号是（ ）A、 B、 C、 D、4. 【解析】中，有可能是异面直线；中，有可能在上，都不对，故选（）.5函数的单调递增区间是（ ）A B C D【解析】，当时，函数单调递增，即，令，且，可知选（）.6设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，则（ ）ABCD【解析】依题意，有，故，即，当时，即，故，故，故，选（）7若对于任意实数，有，则的值为（ ）A B C D【解析】将等式右边展开，含的项为，故有，解得：，故选（）8设是奇函数，则使的的取值范围是（ ）A B C D【解析】依题意，得，即，故， ，又，故，解得：，故选（）.9已知二次函数的导数为，对于任意实数，都有，则的最小值为（ ）A B C D【解析】，依题意，有：，可得，故选（）.10在平面直角坐标系，已知平面区域，则平面区域的面积为（ ）A B C D【解析】集合转化为是不等式组的平面区域，如右图，平面区域的面积为，故选（）.二、填空题11若，则.【解析】，解得：，故.12某校开设门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修门，共有种不同选修方案.（用数值作答）【解析】.13已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则.【解析】令，得：，故，.14正三棱锥的高为，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是.【解析】如图，得.15在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则.【解析】设三角形三边为，因在椭圆上，长半轴为，故，设，则.16某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离表示成的函数，则，其中.【解析】秒后转过的弧度为，过作边上的高，为等腰三角形，故.三、解答题17某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第位）（1）次预报中恰有次准确的概率；（分）（2）次预报中至少有次准确的概率；（分）（3）次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确的概率；（分）本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力解：（1）次预报中恰有次准确的概率（2）次预报中至少有次准确的概率（3）“次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确”的概率为18如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且，（1）求证：四点共面；（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：；（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求.本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力解法一：如图，在上取点，使，连结，则，因，故四边形，都为平行四边形从而，又因，故，故四边形是平行四边形，由此推知，从而因此，四点共面（2）如图，又，故，因，故为平行四边形，从而又，故（3）如图，连结因，故平面，得于是是所求的二面角的平面角，即因，故，解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则，故，故共面又它们有公共点，故四点共面（2）如图，设，则，而，由题设得，得因，有，又，故，从而，故（3）设向量，截面，于是，而，得，解得，故又，平面，故和的夹角等于或（为锐角）于是故19、如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，（1）若，求的值；（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力解：(1)设过点的直线为，故，即，设，因，故，即，故，即，故（舍去）.（2）设过的切线为，故，即，它与的交点为，又，故，因,故，故，故点和点重合，也就是为此抛物线的切线.（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知，因轴，故，因，故为的中点.20已知是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和，（1）若（是大于的正整数，求证：；（2）若是某个正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及论证问题的能力解：设的公差为，由，知，(1)因，故，故.(2)，由，故，解得，或，但，故，因是正整数，故是整数，即是整数，设数列中任意一项为，设数列中的某一项，现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，故，若，则，那么，当时，因，只要考虑的情况，因，故，因此是正整数，故是正整数，因此数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立（3）设数列中有三项成等差数列，则有，设，故，令，则，因，故，故(舍去负值)，即存在使得中有三项成等差数列.21已知是不全为的实数，函数，方程有实根，且的实数根都是的根；反之，的实数根都是的根。求的值；若，求的取值范围；若，求的取值范围本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力解: 设是的根，那么，则是的根，则即，故.因，故，则的根也是的根.()若，则，此时的根为，而的根也是，故，(b)若，当时，的根为，而的根也是，当时，的根为和，而的根不可能为和，故必无实数根，故，故