初二自招进度二12梯形1

1 / 5 第十二讲 梯形（1） 1. 如图：已知ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M。 求证： 1 () 2 AMABAC 证：延长证：延长AM至至F，使，使MFAM，连，连CF， 易证：易证：,ACCFFCADBAD， FCAB，FCBBADBFDC ， ACCFDF， 111 222 AMAFADDFABAC 2. 已知在锐角三角形ABC中，BE，CF为高，在BE，CF（或延长线）上，分别截取BQCA， CPBA，且PPBC于P，QQBC于Q， 求证：PPQQBC 证：过点证：过点A作作AABC于点于点A，易知，易知BAABCF， 可证可证CPP!ABA!PPBA， 又可证又可证BQQ!ACAQQCA!， PPQQBACABC。 3. 如图，等腰ABC中，ABAC，100A ，BE是ABC的平分线。 求证：AEBEBC； 证：法一：证：法一： 延长延长BE到点到点G，使，使BGBC，连结，连结CG， 在在BC上截取上截取BFBA，连结，连结EF， 先证：先证：BFE!BAE!，再证，再证CGE!CFE!。 法二：在法二：在BC上截取上截取BGBE，连结，连结EG，在，在BC上截取上截取BFBA，连结，连结EF。 4. 如图：等腰直角ABC中， 0 90BAC，AEAD ，BEAF 交BC于点F，过F作 CDFG 交BE的延长线于点G，FG交AC于点M。 求证：FGAFBG； 证：过点证：过点C作作AB的平行线交的平行线交AF的延长线于的延长线于P， 易证：易证：ABE!ACP!，,AEBP BEAP， 易证：易证：ABE!ACD! ，ABEACD， 90AEBABE，90FMCACD，AEBFMC， FMCP，可证，可证MCF!PCF!，MFPF， 易证易证GEGM，BEEGAPMGAFFPMGAFFMMG， BGAFFG。 CB A F E P Q Q P A BC D M D CB A M F E G CB A E 2 / 5 【梯形的定义】 一组对边平行， 另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 平行的两边叫做梯形的底， 较短的底叫做上底， 较长的底叫做下底。不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。 【梯形的分类】 .梯形等腰梯形：两腰相等的 直角的梯形；直角梯形：有一个角是 特殊梯形 一般梯形 梯形 【等腰梯形的性质】 等腰梯形的两腰相等 等腰梯形同一底上的两个角相等 等腰梯形的两条对角线相等 等腰梯形是轴对称图形 【等腰梯形的判定】 两腰相等的梯形 同一底上的两个角相等的梯形 两条对角线相等的梯形 【梯形中位线定理】 连结两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线平行于两底并且等于两底之和的一半。 【梯形面积公式】 mhbahS)( 2 1 梯形 （其中)( 2 1 bam为梯形中位线长，a、b分别为梯形上、下底长） 【常见梯形中辅助线作法】 3 / 5 1. 已知一个梯形的 4 条边的长分别为 1、2、3、4，求此梯形的面积。 解：能围成梯形只有上下底分别为 1、4；腰长为 2、3。 如图，1 AB，4 DC，2 AD，3 BC 作BEAD，DCBF ,2 ADBE 设xEF ，则xCF 3 有 22222 CFBCEFBEBF ， 即 2 222 332xx ， 3 2 x， 3 24 BF， 3 210 S 2. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 ACBD，且 AC=8cm，BD=6cm，求此梯形的高。 3. 如图，四边形 ABCD 是梯形， ADBC， ADBC，AB=AC 且 ABAC，BD=BC，AC，BD 交于 O，求BCD 的度数 提示：梯形高为底边一半，可得 30 DBC， 可得 75 BCDBDC, EF C AB D 4 / 5 4. 如图，已知：在等腰梯形 ABCD 中，ADBC. （1）若 AD=5，BC=11，梯形的高是 4，求梯形的周长； （2）若 AD=a，BC=b，梯形的高是h，求梯形的周长c； （3）若 AD=3，BC=7，BD=25，求证：ACBD。 5.如图,等腰梯形 ABCD 中，ADBC，BD 平分ABC，C=30，求 AD：BC 的值 解： 过 D 作 DFAB 交 BC 于 F， 过 D 作 DEBC 于 E， 则四边形 ABFD 为平行四边形 设 AD=a，则 AD=BF=a BD 平分ABC， AD=AB=DF=DC=a 在 RtDEC 中，C=30， DE= 2 a ，EC= 3 2 a 又EC=DF= 3 2 a， BC=BF+EF+EC=a+ 3 2 a+ 3 2 a=（1+3）a AD：BC=a： （1+3）a=（3-1） ：2 5 / 5 6. 如图所示，ABC 中，AB=AC，BD、CE 分别为ABC、ACB 的平分线，求证：四边形 EBCD 为 等腰梯形. 证明：因为 AB=AC，所以ABC=ACB，所以1=2= 1 2 ABC. BC=CB.所 以EBCDCB (A.S.A.).所以 BE=CD.所以 AB-BE=AC-CD.所以ABC=AED= 0 180 2 A .所以，EDBC.又因为 BE 与 CD 交于点 A，即 EB 与 CD 不平行，所以四 边形 EBCD 是梯形，又 BE=CD，所以四边形 EBCD