三角函数的诱导公式教案

1.3 三角函数的诱导公式 贾斐三维目标 1、通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想. 2、通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用. 3、进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.重点难点 教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等. 教学难点:六组诱导公式的灵活运用.课时安排2课时教学过程导入新课思路1.利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值. 复习诱导公式一及其用途.思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0到360(0到2)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90到360(到2)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.新知探究提出问题 由公式一把任意角转化为0,360)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0到90的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90到360的角能否与锐角相联系?通过分析与的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求90,360)内的角的三角函数值,转化为求有关锐角的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.图1讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.=提出问题锐角的终边与180+角的终边位置关系如何?它们与单位圆的交点的位置关系如何?任意角与180+呢? 活动:分为锐角和任意角作图分析:如图2.图2 引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.无论为锐角还是任意角,180+的终边都是的终边的反向延长线,所以先选择180+为研究对象. 利用图形还可以直观地解决问题,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P(-x,-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二: sin(180+)=-sin,cos(180+)=-cos. 并指导学生写出角为弧度时的关系式: sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan. 引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用. 讨论结果:锐角的终边与180+角的终边互为反向延长线. 它们与单位圆的交点关于原点对称. 任意角与180+角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么?-角的终边与角的终边位置关系如何?活动:让学生在单位圆中讨论-与的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:任意角和-的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan.教师点拨学生注意:无论是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.讨论结果:根据分析下一步的研究对象是-的正弦和余弦.-角的终边与角的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题下一步的研究对象是什么?-角的终边与角的终边位置关系如何? 活动:讨论-与的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角和-的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan(-)=-tan.强调无论是锐角还是任意角,公式均成立.引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求-角的三角函数值转化为求角的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一四:+k2(kZ),-,的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的是任意角.讨论结果:根据分析下一步的研究对象是-的三角函数;-角的终边与角的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用例1 利用公式求下列三角函数值:(1)cos225;(2)sin;(3)sin();(4)cos(-2 040). 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：(1)cos225=cos(180+45)=-cos45=;(2)sin=sin(4)=-sin=;(3)sin()=-sin=-sin(5+)=-(-sin)=;(4)cos(-2 040)=cos2 040=cos(6360-120)=cos120=cos(180-60)=-cos60=.点评:利用公式一四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练 利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-51015);(2)sin().解:(1)cos(-51015)=cos51015=cos(360+15015)=cos15015=cos(180-2945)=-cos2945=-0.868 2;(2)sin()=sin(-32)=sin=.例2 2007全国高考,1cos330等于( )A. B. C. D.答案:C变式训练化简:解:=.例3 化简cos315+sin(-30)+sin225+cos480.活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.解:cos315+sin(-30)+sin225+cos480=cos(360-45)-sin30+sin(180+45)+cos(360+120)=cos(-45)-sin45+cos120=cos45+cos(180-60)=-cos60=-1.点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证:.分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.证明:左边=tan=右边.所以原式成立.规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.知能训练课本本节练习13.解答:1.(1)-cos;(2)-sin1;(3)-sin;(4)cos706.点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.2.(1);(2);(3)0.642 8;(4).点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.3.(1)-sin2cos;(2)sin4.点评：先利用诱导公式变形为角的三角函数,再进一步化简.课堂小结