13 线段的垂直平分线教师 初一自招进度三

1 / 6 第十三讲 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质定理: 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 2. 线段垂直平分线的判定定理: 和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 2 / 6 【例题1】 已知如图， 在ABC中，OMON、分别是ABAC、的垂直平分线，OM与ON相交于 点O求证:点O在BC的垂直平分线上 证:OM垂直平分AB，OAOB同理OAOC OBOC，O在BC的中垂线上 【例题2】 已如:如图AD平分,BAC AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AD于点F 求证:EACB 证:EF垂直平分AD AFDF ，AFEDFE AFE( . . )DFE S AS,AEDEEAFEDF 即 BBADDACCAE 由AD平分,BACBADDAC，BCAE （等式性质） 【例题3】 如图，在ABC中， 0 115 ,BAC的垂直平分线与AB交于点D，联结CD如果 BCD与DCA的度数比为 3:5，那么ACB的度数是多少？ 解:D在AC中垂线上，ADCA 依题意，设5 ,3ADCAxBCDx ABC中， 0 120 ,BABCA 0 115 5351805,840 xxxxACBx， 【例题4】 如图，在ABC中，cmACAB20，DE垂直平分AB，交AC于点D，BCD的 周长为cm30求BC的长 解:因为DE垂直平分AB,所以DBDA BCD的周长cmBCACBCDCDABCDCBD30 所以cmBC10 N M O CB A F EDCB A E D C B A C D B A 3 / 6 【例题5】 已知:如图，CD垂直平分线段,AB E是CD上一点，分别联结CACBEAEB、求 证:CAECBE 证一 :CD垂直平分AB，CACB，同理EAEB 证得,CAECBECAECBE 证二:CD垂直平分AB，CACB，CABCBA ED垂直平分AB，EAEB，EABEBA CABEABCBAEBA，得CAECBE 【例题6】 已知:如图，在Rt ABC中， 0 90 ,C 0 30 ,B,ACAE AD平分CAB，交BC 于点D，联结DE求证:DE是AB的垂直平分线 解: 000 30 ,9060BCABB ，且AD平分CAB 0 30 , DAEDACBDAE， 易证 0 ,90ACDAEDDEAC ， AEDBED90 ，DEAB 易证ADEBDE AEBE ，DE垂直平分AB 【例题7】 如图，在ABC中，ACAB ，AB的垂直平分线DE交BC于点D，且ACDC 求ABC各角的大小 解:连结AD.DE垂直平分ABBDAD BADB BBADBADC2 ACAB ，ACDC ， CB，DACADCB 2 0 180BACCB 0 1805B 0 36B 0 36C， 0 108BAC E C B D A E B D C A E D C B A 4 / 6 【例题8】 如图，在ABC中，72BAC，68B，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、 E，EAD的度数为 . 【例题9】 如图，在Rt ABC中，90ACB，15B，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC 于点D，且13BD cm，则AC cm. 【例题10】 已知:BE是ABC的中线， 从A点引EBC的平分线的垂线为AM， 垂足为点M， 这条垂 线与BE、BC分别交于P、Q两点.求证: 1 2 PEQC. 【例题11】 已知:如图，在ABC中，90ACB，D为BC延长线上一点，E是AB上一点，EM垂 直平分BD，M为垂足，DE交AC于点F.求证:点E在AF的垂直 平分线上. 5 / 6 【例题12】 已知:如图，等边三角形ABC的边长是 4，点D在BC边上移动，联结AD，作AD的垂 直平分线，分别与边ABAC、相交于点EF、，联结DEDF、 （1）设BDx，试用x的代数式表示BDE和CDF的周长 （2）在点D的移动过程中，BDE和CDF的周长能否相等？如果能，指出点D在BC边的什 么位置；如果不能，试简单说明理由 解:（1）, BDE EDEACBDBEEDBDBEEA 4BDBAx ,8 CDF FDFA Cx （2）如果相等，则 1 48,2,2 2 xx xBDBC D为BC的中点 【例题13】 （1）如图 1，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于 M，40A ，求NMB的大小； （2）如果将（1）中的度数改为70（如图 2） ，其余条件不变，再求的大小； （3）如图 3，若A ，你发现有什么样的规律性?试证明之； （4）将（1）中的A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改? N M F E D CB A 6 / 6 【作业1】 在ABC中，若MP和NQ分别是AB、AC的中垂线，且60PAQ，求BAC的度数. 【作业2】 如图，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，交AC于点 F，垂足为点D.若50A ，6ABBC，求BCF的周长及EFC的度数. 【作业3】 Rt ABC中，90C，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，若15BADDAC， 求A的度数. 【作业4】 如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计