数学建模例题及解析

的双曲馀弦值。例1差分方程式资金的时间价值问题1:住房贷款购买者是从广告谈的每个房子都想属于自己的房子，但是如果没有一次买的资金，就有贷款买房子的问题。 首先看看下面的广告(1991年1月1日一家大城市晚报上刊登的广告)。 谁都看到这个广告会产生很多疑问，广告中没有提到住宅面积和设施等。 一次买这所房子要多少钱令人关心。 银行贷款的利息是多少？为什么每月付1200元？知道房价(一次买房子的价格)的人，如果自己只能付部分钱，就用贷款方式解决剩下的钱，只要知道利息，就计算每月付多少钱因为根据那个，可以决定是否买广告中所说的房子。 进行数学的建模吧。 这个问题比较简单，不需要太抽象和简单。a .明确变量、参数后，将明确考虑以下量我得借多少钱，用笔记月利率(贷款通常以复利计)以r记录每月多少钱用x记录下来借用期间记为n个月。b .建立变量之间明确的数学关系。 如果记录第k个月的时尚负债额，一个月后(加上利息后)借款，但是我们又偿还了x元，所以合计负债为k=0，1，2，3最初的债务是。 我们的数学模型可以表现如下(1)c. (1)的求解。 由(2)这是明显的关系。d .关于广告的状况，我们来看看(1)和(2)的数量知道多少吧。 N=5年=60个月，已知每月偿还额为x=1200元，已知a。 也就是说，从一次付款购买价格中减去70000元后，还有其他想借的钱，没有告诉你。 另外，因为也不说银行贷款利率r，我们的决策变得困难了。 但是，得知从(2)开始60个月后就还清了，得到了这一点(3)(N=60，x=1200表示时机与x的关系式，只要知道银行的贷款利息r就可以计算。 例如，如果R=0.01，可以从(3)计算为53946元。 房地产公司一次支付的房价超过7000053946=123946元，必须自己向银行借款。 实际上，像图形计算器和Mathematica这样的数学软件可以画出(3)的图形，可以估计决定。 进一步考虑以下两个问题。注1问题1标题的“抵押贷款”只是指银行叔叔借钱不还，以房地产(包括房屋所有权)为抵押，如果不出钱就没收房地产。例题1一对高中年轻夫妇为了买房子在银行60000元，月利率0.01，贷款期间25年=300月，夫妇想知道每月支付多少，25年就能偿还。 如果这对夫妇每月能节省900元，能买房间吗？解：现在的问题是想使用的x，由(2)式知道如果计算现在=60000，R=0.01，k=300，x=632元，表示夫妇有能力买房子。例题2这时，夫妇看到了一家贷款公司的广告。 “借60000元，22年还清(I )每半月还316元(ii )文件工作多了，所以需要预付3个月的钱。 3166=1896元。 这对夫妇三年前还清当然好，每半个月316元，那个月不是正好632元，只是认为只是为了付钱而跑得更远。预付18%元当然不高兴，但是还清三年前节省的钱是22752元这对夫妇请你告诉他们一个满意的答案。省略具体的解法。问题2 :养老基金今后，当年青年参加工作后，从每月工资中扣除一部分作为个人养老基金，职场(经济效益好的话)每月投入一定量的钱，存入一定利率高且安全的“银行”(也称为货币市场)，60岁退休时可以使用。 也就是说，养老金要维持一定的生活水平，可以用自己的养老金基金每月取出一定的钱来补助不足。 假设月利率和=0.01不变，在设立养老基金时一次可以放入一分钱(不管多少)、每月y元(个人和公司投入的合计)，通常也可以从31岁到60岁使用。 这当然是简化的假设，但作为报价还是要考虑的出发点。 本问题实际上有退休前和退休后两个阶段，其数学模型是其中，x是每月养老基金提交的金额。练习题1有一所大学的年轻教师小李从31岁开始设立了自己的养老金基金，他已经存了1万元也一次存了，每月利率为0.01 (按复利计算)存300元，当小李60岁退休时，他的退休基金有多少。 另外，退休后每月从银行提取l000元，问一下几年后退休基金会消失吧，能根据你知道的实际情况，制作好的养老基金的数学模型和相应的算法和程序软件吗？练习题2渔业(林业)管理问题在某鱼池(或某海域)有第一条鱼条，鱼的平均年繁殖率为r，每年捕获x条，第n年有鱼条的话，池内的鱼数是每年的变化规律请注意，在实际的渔业经营中，不要用根数，而要用吨数。 在某海域的渔业作业中，如果=100000吨、R=0.02、x=1000吨的话，几年后不是就不能捕鱼了吗？例2比例分析法席分配问题：某学校有三个系联合成立学生会(1)试着确定学生会的座位分配方案。(2)若甲系100名，乙系60名，丙系40名。 学生会设20个座位，分配方案怎么样？(3)在丙系有3名学生转入甲系，3名学生转入乙系的情况下，分配方案如何变化？(4)投票提案时20个座位的代表会议有可能打成10: 10的平局，所以会议决定下次增加1个座位，(3)如果提问时增加1个学生会座位的话？(5)试验一定数量的指标来测定座位分配的公平性，并用此来检查(1)(4)。公平简单的座位分配方法是按人数比例分配，如果甲系100名，乙系60名，丙系40名。 学生会设20个座位，三个系各需要10、6、4个座位。丙系有6名学生转入其他2系时，各系的人数如表所示结女儿学生人数所占比例(% )比例分配的座位按惯例分配的座位甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44合计200100.020.020如第2列所示，比例分配的情况下，出现小数(参照表中的第4列)，分配取整数的19个座位后，剩下的1个座位按照惯例分配馀数最大的丙系，3个系统分别占有10、6、4个座位.20个席位的代表会议在提议投票时可能会打成10:10的平局，所以会议决定下次增加1个席位，所以他们按照上述惯例重新分配席位，计算结果惊人：总席增加1个席位，丙系反而减少1个席位，参照下表结女儿学生人数所占比例(% )比例分配的座位按惯例分配的座位甲10351.510.81511乙6331.56.6157丙3417.03.5703合计200100.021.00021为了解决这个矛盾，必须重新研究惯例的分配方法，提出更“公平”的方法a、b双方的人数分别为p1和p2，分别占有n1和n2的座位两个座位代表的人数分别是p1 /n12和p2/n2。 显然，只有这两个数值相等时，座位的分配才是公平的。 但是，通常它们不相等。 在这种情况下，座位的分配是不公平的。不公平的程度可以用数值表示，那是“绝对不公平”。 从下表列举的例子来看，a、b间的“绝对不公平”和c、d间相同。 但是，从常识上看，a和b之间显然存在着比c和d之间更严重的不公平。 所以“绝对不公平”不是一个好的测量标准。pn传输速率p1/n1-p2/n2甲组联赛120101212-10=2乙级联赛1001010c.c102010102102-100=2德. d100010100为了改善绝对标准，我们当然考虑使用相对标准。 p/n越大，各座位代表的人数越多，或者总人数一定时分配的座位越少。 因此，如果p1/n13p2/n2，则a侧损失，或者对a不公平，因此定义为“相对不公平”p1/n1p2/n2为了相对于a的相对不公平值，记为如果p1/n1p2/n2，此时对a侧不公平有定义。 如果再分配一个座位，关于p/n的不等式有三种可能1)p1/(n111)p2/n2，这表示即使a方增加1个座位，对a也是不公平的，所以这1个座位当然应该给a方2 )说明2)p1/(n111)p2/n2，a侧增加1个席位，对b变得不公平，参照公式，计算对b的相对不公平值3)b侧增加1个座位的情况下，说明了对a侧不公平，这种情况下，对a的相对不公平值是(注意：对于p1/n1p2/n2的假设，p1/n1p2/p2也可以说明(5)式. 因此，我们的结论是，(6)式成立时，增加的1个座位应该分配a侧，相反，应该分配给b方。记住，增加的一个座位应该分配给q值大的一个上述方法可在有m方分配席的情况下传播用这个方法，重新研究本节开头提出的三个系分配21个座位的问题首先，给每个系统分配一个座位，然后计算如下甲系n1=1b系，n2=1c系，n3=1因为最大，第4席被分配给甲系，必须继续计算甲系n1=2与以上的相比最大，第5席分为乙系，必须继续计算。 这样继续，直到第21席被分配给某个系统(详细参照列表)。n甲系乙系丙系15304.5(4)1984.5(5)578(9)21768.2(6)661.5(8)192.7 (十五)3884.1(7)330.8(12 )96.3(21 )4530.5(10 )198.5(14 )5353.6 (十一)132.3(18 )6252.6(13 )94.57189.4(16 )8147.3(17 )9117.9(19 )1096.4(20 )1180.4合计十一个座位六个座位四个座位根据q值法可以看出，丙系保持着几乎没有丢失的1个座位。 你觉得这个方法公平吗？练习题：学校1000名学生，235人住在a宿，333人住在b宿，432人住在c宿。 学生们组织了十个委员会，按以下方法分配了各宿舍的委员人数。1 )按照惯例方法，按比例分配整数定员后，剩馀定员为最大人数。2)Q值的方法。委员会从10人增加到15人的话，分配定员有什么变化？例3状态迁移问题常染色体遗传模型随着人类的进化，人们为了揭开生命的神秘，重视遗传学的研究，特别是遗传特征的各世代的传播，引起了人们的注意。 无论是人类还是动植物，之所以把自己的特征遗传给下一代，是因为子孙继承父母的基因，形成自己的基因对，基因对确定子孙的特征。 其次，研究常染色体遗传和x链遗传两种遗传。 可以根据母体基因遗传给后代的方式建立模型，利用这些模型研究各世代的整体基因型分布。在常染色体遗传中，后代从各自父母的基因对中继承基因，形成自己的基因对，基因对也称为基因型。 如果我们认为的遗传特征被两个基因a控制，就有AA、a三种基因对。 例如，金鱼是由两个基因决定花的颜色的，基因型是AA的金鱼草开红色的花，型是开粉红色的花，型是开白色的花。 另外，人眼的颜色也受常染色体遗传控制。 基因型是人，眼睛是茶色，基因型是人，眼睛是蓝色的。 在这里，因为全部显示出相同的外部特征，所以可以认为基因a支配着基因，也可以认为基因对a来说是隐性的父母的基因型AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aa后代基因缘型PS1二分之一0四分之一00PS0二分之一1二分之一二分之一0PS000四分之一二分之一1农场植物园的某植物的基因型是PS、PS。 农场计划通过AA型植物和基因型植物相结合，培养植物的后代。 几年后，这种植物的任意一代的3种基因型分布会怎么样？步骤1 :假设：命令。(1)在第二代植物中，基因型为AA、AA和AA的植物占植物总数的比例用和表示。 设为第n代植物基因型分布：n=0时表示植物基因型的初期分布(即生长开始时的分布)，很明显(2)第n代分布和第n-1代分布的关系由上述表决定。步骤2 :建模根据假设(2)，首先考虑第n代的AA型。 由于第n-1代的AA型与AA型结