2019年北京市高级中等学校招生考试

2019年北京市高级中等学校招生考试数学试卷考生须知1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题满分100分考试时间120分钟2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上、在试卷上作答无效4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回一、选择题(本题共16分，每小题2分)第18题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1. 4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米将439 000用科学记数法表示应为()A. 0.439106B. 4.39106C. 4.39105 D. 4391032. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是()3. 正十边形的外角和为()A. 180B. 360C. 720D. 14404. 在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若COBO，则a的值为()A. 3 B. 2 C. 1 D. 15. 已知锐角AOB如图，第5题图(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD; (2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；(3)连接OM，MN.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()A. COMCODB. 若OMMN，则AOB20C. MNCDD. MN3CD6. 如果mn1，那么代数()(m2n2)的值为()A. 3 B. 1 C. 1 D. 37. 用三个不等式ab，ab0，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为()A. 0 B. 1 C. 2 D. 38. 某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)等数据以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.学生类别人数时间t0t1010t2020t3030t0，b0)在双曲线y上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y上，则k1k2的值为_14. 把图中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图，图所示的正方形，则图中菱形的面积为_第14题图15. 小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4，9，5，记这组新数据的方差为s，则s_s.(填“”，“”或“”)16. 在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，正确四个结论中，存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；存在无数个四边形MNPQ是矩形；存在无数个四边形MNPQ是菱形；至少存在一个四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是_三、解答题(本题共68分，第1721题，每小题5分，第2224题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第2728题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17. 计算：|(4)02sin60()1.18. 解不等式组：19. 关于x的方程x22x2m10有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根20. 如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BEDF，连接EF.(1)求证：ACEF；(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD4，tanG，求AO的长第20题图21. 国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数，对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a. 国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组：30x40，40x50，50x60，60x70，70x80，80x90，90x100)；b. 国家创新指数得分在60x0)在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若t，求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围2019北京中考真题解析1. C【解析】4390004.39105.2. C【解析】选项逐项分析正误A不是轴对称图形B不是轴对称图形C是轴对称图形D不是轴对称图形3. B【解析】多边形的外角和为360，正十边形的外角和为360.4. A【解析】将点A向右平移1个单位长度得到点C，点C表示的数为a1.A、B在原点O的两侧，且B表示数字2，COBO，点C表示的数为2，即a12.解得a3.5. D【解析】如解图，连接ON，CM，DN.由作图过程(2)知，CMCDDN，.COMCODDON.A正确；由作图过程(1)知OMON.又OMMN，OMONMN.OMN是等边三角形，MON60.CODMON6020，即AOB20.B正确；设OA交MN于点E.OCOD，OCDODC.OMON，OMNONM.MON3COD，OMN.OEN是OME的外角，OENOMNMOEOMNCODCOD.OENOCD.MNCD.C正确；根据“两点之间，线段最短”可知，MCCDDNMN.MCCDDN3CD.即3CDMN.D错误第5题解图6. D【解析】mn1，原式(m2n2)(mn)(mn)3(mn)3.7. D【解析】构成的命题有3个，分别为：若ab，ab0，则；若ab，则ab0；若ab0，0，b0)在双曲线y上，b.k1ab.点A(a，b)与点B关于x轴对称，B(a，b)点B(a，b)(a0，b0)在双曲线y上，b.k2ab.k1k2ab(ab)0.14. 12【解析】设图中菱形对角线分别为a，b，且ab.由图得ab5，即ab10.由图得ab1，即ab2.解方程组，得菱形的面积为ab6412.15. 【解析】数据92，90，94，86，99，85的平均数x0(929094869985)91.s(9291)2(9091)2(9491)2(8691)2(9991)2(8591)2.数据2，0，4，4，9，5的平均数x1(204495)1.s(21)2(01)2(41)2(41)2(91)2(51)2.ss.16. 【解析】在矩形ABCD中，连接AC、BD交于点O.作四边形MNPQ，连接MP、NQ，当MP、NQ都经过点O时，如解图矩形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心，OMOP，ONOQ.直线MN，PQ具有任意性，存在无数个四边形MNPQ是平行四边形，正确；当MPNQ时，平行四边形MNPQ是矩形当MP确定后，总存在NQ使得NQMP，存在无数个四边形MNPQ是矩形正确当MPNQ时，平行四边形MNPQ是菱形当MP确定后，过点O一定可以画出NQMP.MP具有任意性，存在无数个四边形MNPQ是菱形，正确；当MPNQ且MPNQ时，平行四边形MNPQ是正方形，当矩形ABCD的邻边不相等时，不存在四边形MNPQ是正方形，错误第16题解图17. 解：原式124 23.18. 解：由4(x1)x2解得x2.由x解得x.不等式组的解集为x2.19. 解：关于x的方程x22x2m10有实数根，b24ac(2)241(2m1)0.解得m1.m为正整数，m1.当m1时，可得方程x22x10.解得x1x21.20. (1)证明：四边形ABCD是菱形，ABAD，BACDAC.ABAD，BEDF，ABBEADDF，即AEAF.AEF是等腰三角形又BACDAC，ACEF；(2)解：由题意作解图如下，四边形ABCD是菱形，ACBD，ABCD，OBBD42.GAEG.由(1)知EFAC.又BDAC.EFBD.AEGABO.GABO.tanG，tanABO.AOOBtanABO21.第20题解图21. 解：(1)17【解法提示】由频数分布直方图可知，根据国家创新指数得分将数据从大到小排列为：2，2，12，9，6，8，1.中国的国家创新指数得分为69.5，将国家创新指数得分在60x70这一组从大到小排列为：69.5，69.3，69.1，68.5，66.4，65.9，63.6，62.4，61.7，中国在60x 70这一分数段排名第一位，中国的国家创新指数得分排名世界的名次为：2212117.(2)如解图所示第21题解图(3)2.7【解法提示】如解图所示，过表示中国的点画横轴的平行线，在该平行线的上方且最左边的点的横坐标就是所求的最小值，最小值约为2.7.第21题解图(4)【解法提示】由散点统计图知，点A，B在表示中国的点的上方，中国的国家创新指数得分低于点A、B所代表的国家，因此中国提出”加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力，正确；点B、C在表示中国的点的右侧，中国的人均国内生产总值低于点B、C所代表的国家，因此中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值，正确22. (1)证明：点O到点A，B，C的距离均等于a，图形G为以点O为圆心，a为半径的圆(如解图所示)BD平分ABC，ABDCBD.ADCD；(2)解：如解图所示，连接BM，OD.由(1)得ADCD.又ADCM，CDCM.DBCMBCMDC.DMBC，DBCBDM90.MDCBDM90，即BDC90.BC是O的直径ODOB，ODBOBD.OBDABD，ODBABD.ODAB.BEDE，ODDE.OD是O的半径，DE与O相切直线DE与图形G的公共点个数为1.第22题解图23. 解：(1)如表格所示；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组x3x3x3第4组x4x4x4【解法提示】第3组，第3天背诵第一遍，第314天背诵第二遍，第336天背诵第三遍(2)4，5，6 【解法提示】观察表格，可得，即，解得4x46.x4为正整数，x44或5或6；(3)23【解法提示】依题意可知：，则3(x1x2x3x4)70，x1x2x3x4，要小云背诵的诗词最多，则取x1x2x3x423，当x15、x29、x35、x44时符合题意，则最多背诵23首24. 解：(1)AD ，PC，PD；【解法提示】一个自变量值只可能对应一个函数值，由表格可知当AD3.01或4时，PC均为2.25，PC长是AD长的函数；当AD1.54或5.11时，PD均为2.00，PD长是AD长的函数(2)函数图象如解图：第24题解图(3)2.30或4.00 【解法提示】由函数图象可知，当AD2.30或4.00时，PC2PD.25. 解：(1)在ykx1中，当x0时，y1.直线与y轴的交点坐标为(0，1)；(2)如解图所示当k2时，直线l表达式为：y2x1，直线xk为x2，直线yk为y2.在y2x1中，当y2时，22x1，解得x；B(，2)，当x2时，y2215.A(2，5)，C(2，2)，此时区域W内的整点个数为6；第25题解图1k0时，区域内必含坐标原点，故不符合题意；当k0时，W内点的横坐标在k到0之间，故1k0时，W内无整点，当2k1时，W内可能存在的整数点横坐标只能为1，此时边界上两点坐标为C(1，k)和A(1，k1)，AC1，当k不为整数时，其上必有整点，但k2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点，当k3，故必有整点综上，1k0或k2.26. 解：(1)在yax2bx中，当x0时，y.A(0，)点A向右平移2个单位长度得到点B，B(2，)；(2)点B(2，)在抛物线上，a22b2.b2a.对称轴为直线x1；(3)由(2)知b2a.yax2bxax22ax.当a0时，在yax22ax中，当x时，ya.a，点P(，)在抛物线的上方当x2时，y.2，点Q(2，2)在抛物线的上方抛物线与线段PQ没有公共点，舍去当a0时，a，点P(，)在抛物线的下方当2，即a时，Q(2，2)在抛物线上方，此时抛物线与线段PQ恰好有一个公共点综上，a的取值范围是a.27. (1)解：如解图所示第27题解图(2)证明：在OPM中，AOBOMPOPM180.又AOB30，OMPOPM150.PM绕点P顺时针旋转150得到线段PN，MPN150，即NPOOPM150.OMPOPN；(3)解：OP2.证明：如解图所示，过点P作PEOA于点E，过点N作NFOB于点F，则PFNMEP90.由(1)知OMPOPN.PMENPF.在PFN和MEP中，PFNMEP(AAS)NFPE，PFME.在RtOPE中，OP2，AOB30，PE1，OE.OH1，即OEEH1，EH1.点M关于点H的对称点为点Q，QHMH1ME1PF.EQEHHQ11PF2PFOPPFOF.在ONF和QPE中，ONFQPE(SAS)ONQP.第27题解图28. 解：(1)画出如解图所示，与BC相切时，ABC的中内弧最长此时的长为以DE长为直径的半圆RtABC，ABAC2，BCAB24.D、E分别为AB、AC的中点，DEBC42.l2；第28题解图(2)当t时，C(2，0)连接DE，当在DE的下方时，点P的纵坐标最小时点P为DE的中点，如解图所示A(0，2)，BA2.点D是BA的中点，BD1.点D、E分别为AB、AC的中点，DEBC21.P的半径PD.1，是ABC的中内弧yP1.第2