人教版八上13.4_最短路径问题.ppt

13.4课题学习最短路径问题,八年级上册,陈巷中学王洪波,已知直线l和直线l外一点P，在点P与直线l连接的线段中，哪一条最短？,垂线段最短,1.点与直线之间的距离,P,l,2.两平行线之间,这是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要用一根水管把它们接通。这是设计草图，你认为选用哪根水管最节省材料，为什么？,3.两点之间,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,4.两点在一条直线异侧,已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。,P,两点之间,线段最短,连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。,如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？,P,所以泵站建在点P可使输气管线最短,应用,问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,5.两点在一条直线同侧,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？,l,当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？,分析：,（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把A、B两点转化到直线l的异侧呢？（3）利用什么知识可以实现转化目标？,分析：,思考你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,作法：作点B关于直线l的对称点B/.,连接AB/,交直线l于点P.,点P的位置即为所求.,思考你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,证明：在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC最短,三角形任意两边之和大于第三边,问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短,练习,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.,B,C,D,E,分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小,6.一点在两相交直线内部,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.,分别作点A关于OM，ON的对称点A，A；连接A，A，分别交OM，ON于点B、点C，点B、点C即为所求,如图：牧马人某一天要从A低出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请你帮他确定这一天的最短路线。,7.两点在两相交直线内部,A/,B/,P,Q,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,8.两点在两平行线外部（造桥选址问题）,分析：,如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？,作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BNEM且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DBAM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。,A,B,M,N,E,C,D,如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向村庄A与村庄B供水。(1)若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在什么地方？,当堂检测,课堂小结,如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A处到达B处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADDEEB的路程最短？,能力提升,你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识.如图，四边形ABCD是长方形的球桌台面，有两个球分别位于P、Q两