解线性代数方程组的迭代法_第1页
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第四章解线性代数方程组的迭代法,三种基本的迭代方法及收敛条件4.1雅可比迭代4.2高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代4.3超松弛迭代,求解线性方程组Ax=y，可用直接法。当A为稀疏矩阵时，直接法将破坏矩阵A的稀疏性。,我们可以对线性方程组进行等价变换，构造出等价方程组x=Mx+g,由此构造迭代关系式例如，分解A=N-P，则,迭代法：构造一个向量序列x(k)，使其收敛到某个极限向量x*，即则x*就是线性方程组的解。,常用迭代方法：雅可比迭代，高斯-赛德尔迭代，松弛迭代等。,4.1雅可比迭代迭代格式线性方程组Ax=y，即,若aii0,i=1,2,n,（6.1）可变为,记则,写成矩阵形式,或简记为对任意初始向量构造迭代格式：(4.2)是称为简单迭代或雅可比迭代。,雅可比迭代矩阵记,所以称为雅可比迭代矩阵，是常数项向量。,如果通过(4.2)构造的迭代序列x(k)收敛，即,则x*为Ax=y的解，即Ax*=y。事实上，对(4.2)取极限得,迭代格式的收敛性,引理4.1(线性代数定理)设矩阵序列则（证明见关治和陈景良编数值计算方法P410-412）定理4.1设迭代格式为由初始向量x(0)产生的向量序列x(k)收敛的充分必要条件是证明必要性（）设则由（4.3）得,(4.3)-(4.4)得,设第k次迭代的误差记为充分性（）设(M)1,证x(k)收敛。如果(M)1，则I-M为非奇异矩阵。事实上，因为(M)1，i0称为松弛因子。将(4.9)变形为,(4.9)或(4.10)称为松弛迭代法。迭代矩阵为当01时，称为低松弛迭代；当12时，称为超松弛迭代；当=1时，即为高斯-塞德尔迭代。,实际用计算机计算时，采用(4.9)的分量形式，即,雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代和松弛迭代均为单步线性迭代。,松弛迭代的收敛性,定理4.6松弛迭代收敛的必要条件是02。即若松弛迭代收敛，则必有02。证明松弛迭代矩阵其中，,如果松弛迭代收敛，由定理4.1知，即S的所有特征值的绝对值均小于1。由特征方程的性质得由（1）和（2）两式得,定理4.7如果系数矩阵A为严格对角占优，当松弛因子时，则松弛迭代收敛。,证明类似于定理4.4。定理4.8若A为对称正定矩阵时，则当时，松弛迭代收敛。,逆矩阵的计算,1.用初等变换2.
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