2018步步高大一轮数学两条直线的位置关系VIP

9.2两条直线的位置关系,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2.()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2.,1.两条直线的位置关系,知识梳理,k1k2,k1k21,直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.,()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点,2.几种距离,(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.,(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.,(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.,1.直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC).(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR).2.两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是.,A1B2A2B10,3.两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是.4.过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.5.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.,A1A2B1B20,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.(),(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上.(),1.(2016天津模拟)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是A.x2y10B.x2y10C.2xy20D.x2y10,考点自测,答案,解析,所以所求直线方程为x2y10.,2.(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于,答案,解析,3.已知p：直线xy10与直线xmy20平行，q：m1，则p是q的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件,即m1.,答案,解析,4.已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_.,答案,解析,|c1|2，即c1或c3.直线l1的方程为xy10或xy30.,xy10或xy30,5.(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.,答案,解析,0或1,由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.,题型分类深度剖析,题型一两条直线的平行与垂直,例1(1)设不同直线l1：2xmy10，l2：(m1)xy10.则“m2”是“l1l2”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,答案,解析,当m2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当l1l2时，显然m0，从而有m1，解得m2或m1，但当m1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.,(2)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.试判断l1与l2是否平行；,解答,方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；,综上可知，a1时，l1l2.,方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，,故当a1时，l1l2.,当l1l2时，求a的值.,解答,方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2；当a1且a0时，,思维升华,(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.,跟踪训练1已知两直线l1：xysin10和l2：2xsiny10，求的值，使得：(1)l1l2；,解答,方法一当sin0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.,方法二由A1B2A2B10，得2sin210，,又B1C2B2C10，所以1sin0，即sin1.,(2)l1l2.,解答,因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件，所以2sinsin0，即sin0，所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.,题型二两条直线的交点与距离问题,例2(1)(2016长沙模拟)求经过两条直线l1：xy40和l2：xy20的交点，且与直线2xy10垂直的直线方程为_.,答案,解析,x2y70,l1与l2的交点坐标为(1,3).设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0，则123c0，c7.所求直线方程为x2y70.,(2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_.,答案,解析,x3y50或x1,方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.,即|3k1|3k3|，,即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意.故所求直线l的方程为x3y50或x1.,即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为(1,4).直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.,思维升华,(1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.,跟踪训练2(1)如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程.,解答,与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)，(1)(1)(2)120.,所求直线方程为2x7y50.,(2)正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三条边所在直线的方程.,解答,设与x3y50平行的一条边所在直线的方程是x3ym0(m5)，,解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.,设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，,解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.,题型三对称问题,命题点1点关于点中心对称,例3过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_.,答案,解析,x4y40,设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.,命题点2点关于直线对称,例4如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是,答案,解析,直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0).,命题点3直线关于直线的对称问题,例5(2016泰安模拟)已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程.,解答,在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设对称点M(a，b)，则,设直线m与直线l的交点为N，则,得N(4,3).又m经过点N(4,3).由两点式得直线m的方程为9x46y1020.,思维升华,解决对称问题的方法(1)中心对称,直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.,跟踪训练3已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；,解答,设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，,又PP的中点在直线3xy30上，,把x4，y5代入得x2，y7，P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7).,(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；,解答,用分别代换xy20中的x，y，,化简得7xy220.,(3)直线l关于(1,2)的对称直线.,解答,在直线l：3xy30上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M(x，y)，,l关于(1,2)的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13(x2)，即3xy50.,一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.典例1求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.,妙用直线系求直线方程,思想与方法系列18,因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1).,规范解答,思想方法指导,解依题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.,返回,二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系.可以考虑用直线系方程求解.典例2求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.,依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.,规范解答,思想方法指导,解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.,返回,三、过直线交点的直线系典例3求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.,可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.,规范解答,思想方法指导,几何画板展示,解方法一解方程组,即4x3y60.方法二设直线l的方程为x2y4(xy2)0，,返回,即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.直线l的方程为4x3y60.,返回,课时作业,1.设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,(1)充分性：当a1时，直线l1：x2y10与直线l2：x2y40平行；(2)必要性：当直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行时有a2或1.所以“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充分不必要条件，故选A.,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.(2016合肥模拟)已知两条直线l1：xy10，l2：3xay20且l1l2，则a等于,答案,解析,由l1l2，可得131a0，a3.,13,3.(2016山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为A.x2y40B.2xy10C.x6y160D.6xy80,答案,解析,由直线与向量a(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式知A正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.(2017兰州月考)一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：xy10上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是,答案,解析,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.(2016绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，,答案,解析,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.(2016厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn等于,答案,解析,13,由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.(2016忻州训练)已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，若l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则ab_.,答案,解析,13,经检验，两种情况均符合题意，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.已知直线l1：axy10，直线l2：xy30，若直线l1的倾斜角为，则a_；若l1l2，则a_；若l1l2，则两平行直线间的距离为_.,答案,解析,1,1,若l1l2，则a11(1)0，故a1；若l1l2，则a1，l1：xy10，两平行直线间的距离d,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.点P(2,1)到直线l：mxy30(mR)的最大距离是_.,答案,解析,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.点P为x轴上的一点，A(1,1)，B(3,4)，则|PA|PB|的最小值是_.,答案,解析,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；,解答,l1l2，a(a1)b0，又直线l1过点(3，1)，3ab40.故a2，b2.,13,解答,直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在.k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，,1,2,3