北京交通大学DSP研究性学习报告频谱计算

数字信号处理课程研究性学习报告DFT近似计算信号频谱专题研讨姓 名 李 帆 学 号 11214008 同组成员 张 静 11214028 林 恒 11214068 王亚君 11214025 李亚伟 11214009 指导教师 薛 健 时 间 2013年5月8日 利用DFT近似计算信号频谱专题研讨【目的】(1) 掌握利用DFT近似计算不同类型信号频谱的原理和方法；(2) 理解误差产生的原因及减小误差的方法；(3)研究用DFT近似计算连续周期信号的方法；(4) 培养学生自主学习能力，以及发现问题、分析问题和解决问题的能力。【研讨内容】 基本题基本题是课程的基本要求，所有的人都需完成。问题一已知某离散序列为 (1)用L=32点DFT计算该序列的频谱，求出频谱中谱峰的频率；(2)对序列进行补零，然后分别用L=64、128、256、512点DFT计算该序列的频谱，求出频谱中谱峰的频率；(3)讨论所获得的结果，从中你能得到了什么结论？该结论对序列的频谱计算有何指导意义？【题目分析】本题讨论补零对离散序列频谱计算的影响。 补零可以使DFT计算得出的频谱更加细致，但是不能改变序列的DTFT【温磬提示】在计算离散非周期序列频谱时常用W/p作为横坐标，称W/p为归一化频率(normalized frequency)。在画频谱时需给出横坐标。每幅图下都需给出简要的文字说明。由于离散非周期序列频谱是周期的，所以在计算时不必用fftshift 函数对fft计算的结果进行重新排列。【序列频谱计算的基本方法】在MATLAB中，用函数fft（x，N）可以计算Xk序列的N点DFT【仿真结果】【结果分析】 通过对序列补零，使DFT在计算频谱时，频谱更加清晰，容易观察，随着点数的增加，频谱的很多细节之处都显示出来，频谱也越来越精确。但是当点数增加到一定范围，频谱基本不再变化，误差也没有减小，因此，在用DFT计算离散序列的频谱时，点数合适即可， 不宜过少，也不宜过多。同时，不管取得的点数是多少，频谱的谱峰所对应的数值都是0.2，可见，对序列补零并不能改变序列的DTFT.【阅读文献】1、 数字信号处理2、 老师的课件【发现问题】 (专题研讨或相关知识点学习中发现的问题)：对序列后面补零能不能提高频谱的分辨率。【问题探究】 对序列后面补零不能提高频谱的分辨率。DFT是对信号fourier变换的离散化处理，对序列后面补零，只是增加了信号fourier变换后的离散抽样点，并不能改变信号本身的采样点，故不能提高频谱的分辨率。【仿真程序】k=0:31x=sin(0.2*pi*k)k1=0:31x_32=fft(x,32)subplot(5,1,1)plot(2*k1/32,abs(x_32),g)title(L=32) k2=0:63x_64=fft(x,64)subplot(5,1,2)plot(2*k2/64,abs(x_64),r)title(L=64) k3=0:127x_128=fft(x,128)subplot(5,1,3)plot(2*k3/128,abs(x_128),m)title(L=128) k4=0:255x_256=fft(x,256)subplot(5,1,4)plot(2*k4/256,abs(x_256),y)title(L=256) k5=0:511x_512=fft(x,512)subplot(5,1,5)plot(2*k5/512,abs(x_512),k)title(L=512) figurek=0:31;x=sin(0.2*pi*k)L=0:1023X=fft(x,1024)subplot(2,1,1)plot(2*L/1024,abs(X),r)hold on;k1=0:31x_32=fft(x,32)stem(2*k1/32,abs(x_32),x,b)title(L=32) k=0:31x=sin(0.2*pi*k)L=0:1023X=fft(x,1024)subplot(2,1,2)plot(2*L/1024,abs(X),r)hold onk3=0:127x_128=fft(x,128)stem(2*k3/128,abs(x_128),*,b)title(L=1024)问题二 某离散序列为 xk=AcosW0k+Bcos ( (W0+DW)k)。用长度N=64的哈明窗对信号截短后近似计算其频谱。试用不同的A和B的值(如 A和B近似相等，A和B近差距较大)，确定用哈明窗能分辩的最小的谱峰间隔中c的值。【题目分析】本题讨论用哈明窗计算序列频谱时的频率分辨率问题。 用哈明窗计算序列频谱时，可以减小序列的泄漏现象，即减少频谱中出现的多余高频分量，但是其是在降低频谱的分辨率的基础上实现的，故使用哈明窗会降低频谱的分辨率。【仿真结果】1A=B=2时C=2C=1C=0.5C=0.7C=0.8C=0.9C=1.3C=1.5C=4C=32A=4，B=1C=4C=3C=2C=13A=1，B=4C=4C=3C=2C=1【结果分析】将实验结果与教材中定义的哈明窗有效宽度相比较，发表你的看法。 教材定义的标准是C=2，根据结果可以看出，当C2时，随着C的减少，频谱谱峰的分辨率随之降低，但是当C由2变为1时，谱峰的分辨率逐渐提高，当C由1变小时，分辨率也变低。这个规律与AB的取值无关。但是AB的取值影响着两个谱峰的幅度，当A与B 相近时，两个谱峰相当，故当C=2,谱峰还是能够区分的，但是当A、B相差很大时，两个谱峰幅度不相当，当C取2时，谱峰基本不能分辨。【自主学习内容】不同窗函数对频谱分辨率的影响【阅读文献】1、 数字信号处理2、 老师的课件【发现问题】 (专题研讨或相关知识点学习中发现的问题)：理论上，随着C数值的减小，频谱分辨率会逐渐降低，但是C取1时出现了特殊，频谱分辨率相对1周围的数值较大。【问题探究】在离散序列频谱计算中为何要用窗函数？用不同的窗函数对计算结果有何影响？与矩形窗相比哈明窗有何特点?如何选择窗函数？ 在实际中的信号一般都不是带限信号，离散化后的信号xk也不是带限信号，无法使用DFT进行频谱分析，故而需要对其进行加窗截短使之成为有限长序列。频谱中出现的高频分量不同，即频率泄露现象不同；频谱的分辨率不同。与矩形窗函数相比，哈明窗减小了频率泄露现象，因为哈明窗函数突然截断的现象不是很明显，故频谱中出现的高频分量比较少。当要求频谱的分辨率较高时，应该选择矩形窗，当要求频率泄漏现象不能太明显时，应该选择哈明窗。【仿真程序】k=0:63;A=input(A=);B=input(B=);c=input(c=);N=64;L=512;x=A*cos(0.1*pi*k)+B*cos(0.1*pi+c*2*pi/N)*k);wh=(hamming(N);x=x.*wh;X=fftshift(fft(x,L);fs=30;ws=2*pi*fsm=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(m,abs(X);grid on; 问题三已知一离散序列为 xk=cos(W0k)+0.75cos(W1k), 0 k 63 其中W0=0.4p, W1=W0+p/64(1) 对xk做64点FFT, 画出此时信号的频谱。(2) 如果(1)中显示的谱不能分辨两个谱峰，是否可对(1)中的64点信号补零而分辨出两个谱峰。通过编程进行证实，并解释其原因 。(3) 给出一种能分辨出信号中两个谱峰的计算方案，并进行仿真实验。【题目分析】分析影响谱峰分辨率的主要因数，进一步认识补零在在频谱计算中的作用。 影响谱峰分辨率的主要因数是序列的频率，即连续时间的抽样点数。【仿真结果】（1）（2）L=128L=256L=512L=1024（3）0=k=127;L=128L=2560=k=Mw0，又T=T0/N,则N=2T0Mw0，与抽样定理基本相同，当取到等号时，若边界值不为0，则会产生混叠，故不能取到等号，若边界值为0，则可取到等号。【仿真结果】N=32N=16N=32，n=8N=32，n=6【结果分析】讨论DFT点数对近似计算的影响，讨论所取谐波项的多少对近似计算的影响。误差分析要给出定量的结果，如平均误差，最大误差等。与连续非周期信号频谱计算过程中存在的误差相比较，连续周期信号频谱的计算计算误差有何异同？ 答：N=32时最大误差在左右，平均误差不到，而N=16时，最大误差接近0.15，平均误差接近0.07，可以看出N=32时的误差比N=16时的误差小得多，说明N=16时发生的混叠严重。选取8次谐波分量，误差在0.03左右，平均误差在0.015左右，可以看出选取合适次数的谐波进行信号重建也对信号是否能合理恢复有着很大的影响。【阅读文献】1.数字信号处理；2老师的课件；3.概率论。【发现问题】 (专题研讨或相关知识点学习中发现的问题)：研究连续周期信号频谱的近似计算时，何种近似方法误差最小？何种方法效率最高？给出数学证明。【仿真程序】N=input(N=);n=input(n=);T0=1;T=T0/N;ts=(0:N-1)*T;x=20*ts.2.*(1-ts).4).*cos(12*pi.*ts);X=fft(x);c=X(N-n+2:N) X(1:n)/N;t=linspace(0,1,1000);xt=20*t.2.*(1-t).4