第十二章 整式的乘除

第十二章整式的乘除一、知识点回顾：1幂的四个运算性质：（0，都是整数，在中，）运算条件字母表达同底数幂相乘底数 ，指数 。= 。幂的乘方底数 ，指数 。= 。积的乘方 分别乘方，再把 。= 。同底数幂相除底数 ，指数 。= 。2. 整式的乘除法法则：（1） 单项式乘以单项式，把它们的 、 分别相乘，对于只在 一个单项式中出现的字母，连同 一起作为积的一个因式。（2） 单项式乘以多项式，用单项式分别乘以 ，再将所得的积 ，即= 。（3） 多项式乘以多项式，先用 分别乘以 ，再将 所得的积 ，即= 。（4） 单项式除以单项式，把 、 分别相除作为商的 ，对于 只在被除式中出现的字母，连同它的 一起作为商的 。（5） 多项式除以单项式，先用这个多项式的 除以这个 ，再把 所得的商 。3. 有关公式：【理解公式的来源，掌握特征，熟练变形应用】（1） 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的 ，即 = 。（2） 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的 之和再加上 （或减去）这两数 的2倍，即= 。【学有余力的同学可以探索立方和（差）公式，即】4. 因式分解：把一个多项式化为 的形式，叫做多项式的因式分解。（1） 提公因式法：把多项式各项的 提出来，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即 。提公因式法的实质是逆用 律。（2） 公式法：把乘法公式= ，= 逆用， 就得到分解因式的公式= ,= , 这种应用公式分解因式的方法叫做公式法。因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止。【十字相乘法、分组分解法、配方法（添项、拆项）、求根公式法】二、易错点纠正：1混淆法则 例：计算 错解：= 剖析：错解混淆了同底数幂的乘法法则与幂的乘法法则。 正解：=2 错用法则 例：计算 错解：原式=剖析：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。而错解却只将两个多项式的首项与首项相乘，尾项与尾项相乘。 正解：原式=3. 忽略符号 例：计算 错解：原式=剖析：“”与“”互为相反数，应给予统一。正解：原式=4. 分解不彻底 例：把分解因式。错解：原式= 剖析：产生错解的原因是没分解完全。因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。 正解：原式=三、考点分析：1幂的运算 例：下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 分析：熟记整式运算的有关法则是解题的关键。根据“同底数幂的乘法”，A错；根据“幂的乘方”，D错；而C中的两个整式不是同类项，不能合并；根据乘方法则，一个负数的偶次幂是正数，故B正确。2 整式的乘法 例1：计算分析：进行整式的乘法运算应有三种意识：符号意识、运算顺序意识、结果最简意识。 解：=例2：先化简，再求值：，其中。分析：解答化简求值题，一定要先化简，避免因直接代入而出现运算错误。解：原式=当时，原式=3. 乘法公式 例：在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A. B. C.D.分析：将整式乘法公式的验证融合在几何图形中，既加强了知识的直观性，又很好地展示了数形结合思想的优越性。本题根据阴影部分面积不变，选择C,很好地验证了平方差公式。【完全平方公式的变形：；】4. 整式的除法 例：计算 分析：按照正确的运算顺序计算是解答本题的关键，先进行积的乘方，再根据整式除法法则进行运算。解：原式=5. 因式分解 例：给出三个整式。（1）当时，求的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解。请写出你所选的式子及因式分解的过程。分析：第（1）问是求值问题，一般要先根据具体情况对式子进行化简，避免直接代值计算使过程复杂化。第（2）问是开放性问题，注意按条件要求的进行。解：（1）当时，=900。 （2）答案不唯一。如：若选，则；若选， 则 ；若选，则 。4、 思想方法：1. 整体思想即从整体上考虑研究对象的整体结构特征，不纠缠于问题的各 项具体细节，从而能够拓宽思路，抓住主要矛盾，一举解决问题。例：已知，求的值。分析：根据已知条件，现在无法直接求出的值，而化简式子后是，因此可以考虑用整体代入的方法来求解，即把代入中。解： = = = 原式=2（）=2. 一般到特殊的思想方法通过观察、实验、分析，从一般到特殊进行归纳， 猜想出一般规律，得出结论，最后加以验证的方法，它是解决规律探究型问 题最常用的一种方法。例：观察下列等式：（1）；（2）；（3）；（4）；则第（是正整数）个等式为 。分析：通过观察不难发现等式的左边是平方差，右边是利用平方差公式将左边因式分解的结果。所以，可得出规律性的等式为=，故填。五、综合练习：1、计算： 2.先化简代数式，再取一个合适的的值代入求值。3.已知，且，求的值。4.已知 已知已知已知，求的值。已知 。如果，求的值。5.已知实数满足，则的值为 。已知为自然数，且，求的最小值。已知，求的值。5.分解因式：- 6.两个同学将一个二次三项式因式分解，甲看错了一次项而分解为；乙看错了常数项而分解为。请将原多项式因式分解。7.如果，则所表示的代数式分解因式的结果是什么？8.解方程： 9.对于任何整数，多项式 都能被 整除。10.若展开后不含的一次项，则的值为 。 如果恒成立，则=