2015年高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2015年重庆，理1】已知集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，故选D（2）【2015年重庆，理2】在等差数列中，若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】利用可求得，故选B（3）【2015年重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如右，则这组数据的中位数是（ ）（A）19 （B）20 （C）21.5 （D）23【答案】B【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32 中位数是，故选B（4）【2015年重庆，理4】“”是“”的（ ）（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，故选B（5）【2015年重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：，故选A（6）【2015年重庆，理6】若非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，结合，可得，故选A（7）【2015年重庆，理7】执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，判断框内应该填，故选C（8）【2015年重庆，理8】已知直线：是圆：的对称轴，过点 作圆的一条切线，切点为，则（ ）（A）2 （B） （C）6 （D）【答案】C【解析】，其圆心坐标为，半径由题意可知直线是圆的直径所在直线，它过圆心，所以由几何图形可知，故选C （9）【2015年重庆，理9】若，则（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】C【解析】，将式带入上式可得：，故选C（10）【2015年重庆，理10】设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线交于点若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由题意可得：在中，由射影定理有：即点到直线的距离为，由题意得：而双曲线的渐近线斜率，故选A二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置（11）【2015年重庆，理11】设复数的模为，则 【答案】3【解析】复数的模为（12）【2015年重庆，理12】的展开式中的系数是 （用数字作答）【答案】【解析】故的展开式中的系数为（13）【2015年重庆，理13】在中，的角平分线，则 【答案】【解析】由正弦定理可得： ，再由正弦定理可得：考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分（14）【2015年重庆，理14】如图，圆的弦相交于点，过点作圆的切线与的延长线交于点，若，则 【答案】2【解析】由切割线定理可得：再由相交弦定理可得：（15）【2015年重庆，理15】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极 点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为则直线与曲线的交点的极坐标为 【答案】【解析】直线的直角坐标方程为由由故直线与曲线的交点的极坐标为（16）【2015年重庆，理16】若函数的最小值为5，则实数 _【答案】4或-6【解析】分情况讨论：（1）当时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：在处取得最小值5，所以；（2）当时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：在处取得最小值5，综上，可得实数或4三、解答题：本大题共6题，共75分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （17）【2015年重庆，理17】（本小题满分13分，（）小问5分，（）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个（）求三种粽子各取到1个的概率；（）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望解：（）令表示事件“三种粽子各取到一个”，则（）所有可能取值为，且， 故分布列见表：012且（个）（18）【2015年重庆，理18】（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分）设（）求的最小正周期和最大值；（）讨论在上的单调性解：（）由题，故的最小正周期，最大值为（）由知，从而当即时，单调递增；当即时，单调递减因此，在单调递增，在单调递减（19）【2015年重庆，理19】（本小题满分13分，（）小问4分，（）小问9分）如图，三棱锥中，平面，分别为线段上的点，且，（）证明：平面；（）求二面角的余弦值解：（）因平面，平面，故又，故 为等腰直角三角形，且因，平面，平面，所以平面 （）如图，取的中点，连由（）知为等腰直角三角形，故，又，故，因此，从而以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系则，故， ，设为平面的法向量，则即，取得由（）知平面，故即为平面的法向量因，故所求二面角的余弦值为（20）【2015年重庆，理20】（本小题满分12分，（）小问7分，（）小问5分）设函数（）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（）若在上为减函数，求的取值范围解：（）由题，因在处取得极值，故，得因此，从而，所以曲线在点处的切线方程为即（）由题知对恒成立，故即对恒成立显然在单调递减，故，所以，即的取值范围为（21）【2015年重庆，理21】（本题满分12分，（）小问5分，（）小问7分）如图，椭圆 的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且 （）若，求椭圆的标准方程；（）若，求椭圆的离心率解：（）由题，故又，故，因此，从而椭圆方程为（）连，由题，故，从