初四数学总复习精品_第十八讲_全等三角形.ppt

,结合近几年中考试题分析，对全等三角形与尺规作图等内容的考查主要有以下特点：1.命题方式为三角形全等的判定与全等三角形的性质，全等三角形与平行四边形、梯形、圆甚至方程知识的综合应用，题型为选择题、填空题、解答题；尺规作图相关的考查主要是检测学生对几何知识的综合运用，其命题方式以解答题为主.,2.命题的热点为三角形全等的判定、全等三角形的性质及与其他图形有关知识的综合考查.,1.利用三角形全等解决角、线段的有关计算与证明或判断直线的位置关系，一般需要先识别出或作出全等三角形，进而利用其性质解题；2.经过图形变换(轴对称、平移、旋转)得到的图形为全等形，在变换的过程中不改变图形的大小、形状，并且还具备了特殊的位置关系；,3.对于利用尺规作图设计图形和解决实际问题，主要是学会将实际问题转化为几何问题，并用基本作图达到解决问题的目的.,探索三角形全等的条件,1.对三角形全等的判定条件的考查是近几年中考的热点和重点，对一般的三角形的全等主要依据“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”,其中直角三角形的判定条件除具备以上依据以外还有特殊的判定条件,即“HL”定理.2.在判定三角形全等时，首先分析相关图形的特点，再寻找使其全等的对应边或对应角，最后根据对应相等的条件确定全等依据：,(1)寻找对应角的方法一般为全等三角形的对应边所对的角为对应角;两条对应边的夹角为对应角；公共角一定为对应角；顶角为对应角；全等三角形中的最大角、最小角分别是对应角.(2)寻找对应边的方法一般为全等三角形的对应角所对的边为对应边；两个对应角的夹边为对应边；公共边为对应边；全等三角形中最大边、最小边分别为对应边.,【例1】(2010金华中考)如图，在ABC中，D是BC边上的点(不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE.请你添加一个条件，使BDECDF(不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明.(1)你添加的条件是：_；(2)证明：,【思路点拨】【自主解答】(1)BD=DC(或点D是线段BC的中点)，FD=ED，CF=BE中，任选一个即可.(2)证明:CFBE，FCD=EBD.又BD=DC，FDC=EDB，BDECDF.,1.(2010温州中考)如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DEAC交BC的延长线于E，则图中与ABC全等的三角形共有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个,【解析】选D.在矩形ABCD中，CDA、BAD、DCB都和ABC全等，由题意不难得出四边形ACED为平行四边形，得出DCE也和ABC全等.,2.(2011江西中考)如图，下列条件中，不能证明ABDACD的是()(A)BD=DC，AB=AC(B)ADB=ADC，BD=DC(C)B=C，BAD=CAD(D)B=C，BD=DC,【解析】选D.要证明ABDACD，就要用到三角形全等的判定方法，其中AD=AD是隐含条件，有条件A时，可用SSS证两三角形全等；有条件B时，可用SAS证两三角形全等；有条件C时，可用AAS证两三角形全等；而条件D不能判定两三角形全等.,3.(2010凉山中考)如图所示，E=F=90，B=C，AE=AF，结论：EM=FN；CD=DN；FAN=EAM；ACNABM.其中正确的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个,【解析】选C.E=F=90，B=C，AE=AFABEACF,EAB=FAC,FAN=EAM.EAMFAN,EM=FN，AN=AMACNABM.,4.(2011宿迁中考)如图，已知1=2，则不一定能使ABDACD的条件是()(A)AB=AC(B)BD=CD(C)B=C(D)BDA=CDA,【解析】选B.A项中的条件可以利用SAS证明ABDACD;C项中的条件可以利用AAS证明ABDACD;D项中的条件可以利用ASA证明ABDACD.,全等三角形性质的应用,全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角的平分线、周长、面积等之间的等量关系.全等三角形的性质常常对证明线段与线段、角与角的相等或倍数关系起着“桥梁”的作用.全等三角形的性质往往结合三角形全等的判定及四边形、圆等图形的性质综合应用.,【例2】(2011内江中考)在RtABC中，CAB=90，AC=2AB,点D是AC的中点，将一块锐角是45的直角三角板AED如图放置，使三角形斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC.猜想BE与EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.,【思路点拨】,【自主解答】BE=EC,BEEC.理由如下：BAC=90,EAD=45,EAB=135,又EDA=45,EDC=EAB=135.又AD=DC,AB=DC,又AE=DE,EABEDC,BE=EC,AEB=DEC,AEB+BED=DEC+BED=90,即BEEC.,5.(2010铜仁中考)如图，ABCDEF，BE=4，AE=1，则DE的长是()(A)5(B)4(C)3(D)2【解析】选A.因为BE=4，AE=1，所以AB=5,又因为ABCDEF，所以DE=AB，所以DE=5.,6.(2011芜湖中考)如图，已知ABC中，ABC=45，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为()(A)(B)4(C)(D)【解析】选B.在RtABD中，ABD=45=BAD，得BD=AD，而CAD+C=FBD+C，得CAD=FBD，又BDF=ADC=90，BDFADC，DF=DC=4，故选B.,7.(2011重庆中考)如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，A=D，AF=DC.求证：BCEF.,【证明】AC=AF+FC,DF=DC+FC,又AF=DC，AC=DF，在ABC与DEF中，ABCDEF，ACB=DFE，BCEF.,角的平分线的性质的应用,角的平分线的性质主要是用来证明角与角相等、线段与线段相等；有角的平分线时常添加过角的平分线上一点作角的两边的垂线或把与角的平分线垂直的线段延长与角的两边相交构造等腰三角形，因此角的平分线的性质常与等腰三角形及轴对称结合在一起进行考查.,【例3】(2010南宁中考)如图所示，在RtABC中，A=90,BD平分ABC，交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是()(A)3(B)4(C)5(D)6,【思路点拨】,【自主解答】选A.BD是ABC的平分线，且点D在BD上，点D到ABC两边的距离相等，又AB4，BD=5，A=90,AD3，点D到BC的距离等于3.,8.(2010益阳中考)如图,已知ABC,求作一点P,使P到A的两边的距离相等,且PA=PB.下列确定P点的方法正确的是()(A)P为A、B两角平分线的交点(B)P为A的角平分线与AB的垂直平分线的交点(C)P为AC、AB两边上的高的交点(D)P为AC、AB两边的垂直平分线的交点,【解析】选B.点P到A的两边的距离相等，P在A的平分线上，PA=PB，点P在AB的垂直平分线上.P为A的平分线与AB的垂直平分线的交点.,9.(2010泰州中考)已知ABC,利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求填空：(1)作ABC的平分线BD交AC于点D；(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F.由(1)、(2)可得：线段EF与线段BD的关系为_.,【解析】(1)、(2)题作图如图所示：由作图可知线段EF与线段BD的关系为：互相垂直平分.,10.(2011扬州中考)已知：如图，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，(1)求证：ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在BAC的角平分线上，并说明理由.,【解析】(1)BD、CE是ABC的高，BEC=CDB=90，OB=OC，OBC=OCB.又BC=CB，BECCDB，ABC=ACB，AB=AC，即ABC是等腰三角形.,(2)点O在BAC的角平分线上.理由如下：BECCDB，BD=CE.又OB=OC，OD=OE，又ODAC，OEAB，点O在BAC的角平分线上.,11.(2011杭州中考)四条线段a、b、c、d，如图，abcd=1234.(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)；(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率.,【解析】(1)如图(2)由四条线段的比例关系可设四条线段的长分别为x、2x、3x、4x，四条线段中任选三条有如下4种情况：x、2x、3x,x、2x、4x,2x、3x、4x,x、3x、4x.其中能构成三角形的只有第种，所以P(作出三角形)=,尺规作图,尺规作图即用直尺和圆规作图；尺规作图有以下基本题型：作线段等于已知线段、作角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线、作三角形等，进而利用基本作图可以作出许多复杂的几何图形.,【例】(2010綦江中考)尺规作图：如图，已知ABC.求作A1B1C1,使A1B1=AB,B1=B,B1C1=BC.(作图要求：写已知、求作，不写作法，不证明，保留作图痕迹)已知：求作：,【思路点拨】,【自主解答】已知：ABC.求作：A1B1C1，使A1B1C1ABC.,(2010潼南中考)画一个等腰ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明).已知：求作：,【解析】已知：线段a、h.求作：一个等腰ABC使底边BC=a，底边BC上的高为h.画图如图所示,1.(2010巴中中考)如图所示，AB=AC，要说明ADCAEB，需添加的条件不能是()(A)BC(B)AD=AE(C)ADC=AEB(D)DC=BE,【解析】选D.SSA不能判定两个三角形全等.其中A满足ASA，B满足SAS，C满足AAS，都能判定两个三角形全等.,2.(2010綦江中考)如图，在ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边ABE、ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A，E之间，连结CE、CF,则以下四个结论一定正确的是()CDFEBCCDF=EAFECF是等边三角形CGAE,(A)只有(B)只有(C)只有(D)【解析】选B.由SAS可证CDFEBC，故正确;CDF=360-60-ADC=300-(180-DAB)=120+DAB,EAF=120+DAB，所以CDF=EAF，故正确;由以上条件可得FAEFDC，所以FE=FC=CE，所以FCE为等边三角形，故正确.,3.(2009温州中考)如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是()(A)PA=PB(B)PO平分APB(C)OA=OB(D)AB垂直平分OP,【解析】选D.由OP平分AOB，PAOA，PBOB，可得PA=PB，OAPOBP，得PO平分APB，OA=OB；也可得到PO垂直平分AB,但AB不垂直平分OP，故选D.,4.(2010重庆中考)已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AEAP1，.下列结论：APDAEB；点B到直线AE的距离为；EBED；SAPDSAPB；S正方形ABCD.其中正确结论的序号是()(A)(B)(C)(D),【解析】EAB+BAP=90,PAD+BAP=90,EAB=PAD,又AE=AP,AB=AD,AEBAPD;故成立;,APDAEB,APD=AEB,又AEB=AEP+BEP,APD=AEP+PAE,BEP=PAE=90,EBED;故成立;过B作BFAE,交AE的延长线于F,AE=AP,EAP=90,AEP=APE=45,又中EBED,BFAF,FEB=FBE=45,又故不正确;AE=1,在RtABF中,故正确;,如图连接BD,在RtAEP中,AE=AP=1,又APDAEB,=故不正确;故选D.,5.(2010宜宾中考)如图，分别过点C、B作ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F.求证：BF=CE.【证明】BFAF,CEAD，BFD=CED=90.AD是ABC的BC边上的中线,BD=CD.又BDF=CDE,BDFCDE(AAS).BF=CE.,6.(2010潼南中考)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，1=2，3=4.(1)证明：ABEDAF；(2)若AGB=30，求EF的长.,【解析】(1)四边形ABCD是正方形，AB=AD,ADBC,在ABE和DAF中ABEDAF；,(2)四边形ABCD是正方形，1+4=90，3=4，1+3=90，AFD=90，在正方形ABCD中，ADBC，1=AGB=30，在RtAFD中，AFD=90，AD=2，DF=1，由(1)得ABEDAF，AE=DF=1，,全等三角形的教学设计一、教学目标设计认知目标：1.会说出怎样的两个图形是全等形，会用符号语言表示两个三角形全等;2.知道全等三角形的有关概念，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角(通过几何画板).能力目标：掌握全等三角形的性质(通过几何画板).,情感目标：1.学生在图形的相对运动中产生兴趣，在图形运动中首先获取感性认识；2.通过演绎变换两个重合的三角形，呈现出它们之间的各种不同位置的活动，从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养动态研究几何的意识，增强学生思维的敏捷性.,二、教学重点和难点：本节重点是全等三角形的性质，难点是确认全等三角形的对应元素.三