数学分析刘玉琏17-4

1,西南财经大学省级精品课程经济管理数学分析课题组版权所有请勿外传,2,4泰勒公式与极值问题,第十七章多元函数微分学,3,一中值定理和泰勒公式(P1334二),称为带拉格朗日余项的泰勒公式.,若令xx0=h，则上述泰勒公式可表为,第十七章多元函数微分学4泰勒公式与极值问题,4,定理17.9(泰勒定理,P134)设函数f在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)有直到n+1阶连续偏导数，则对U(P0)内任一点(x0+h,y0+k),存在相应的(0,1)，使得,第十七章多元函数微分学4泰勒公式与极值问题,5,上式称为二元函数的拉格朗日中值公式(P133定理17.8).,上述公式称为二元函数f(x,y)在点(x0,y0)的n阶泰勒公式.,当n=0时，泰勒公式成为,例4(P135),第十七章多元函数微分学4泰勒公式与极值问题,6,1.二元函数极值的定义,二极值问题(P136三),极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.,例,x,y,z,O,第十七章多元函数微分学4泰勒公式与极值问题,7,例,例,2.二元函数极值存在的条件,定理17.10(极值必要条件,P136)设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)存在偏导数，且在P0点处有极值，则有,例5(P136),z,x,y,O,x,y,z,o,第十七章多元函数微分学4泰勒公式与极值问题,8,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的稳定点.,稳定点,偏导数存在的极值点,注(1),例如，点(0,0)是函数z=y2x2的稳定点，因为,点(0,0)不是极值点，如图.,(2)偏导数不存在的点也有可能取得极值.,例如，,但稳定点处有可能取得极值.,x,y,z,o,z,x,y,O,第十七章多元函数微分学4泰勒公式与极值问题,9,第十七章多元函数微分学4泰勒公式与极值问题,10,一般地(P138)，设P0是函数f的稳定点，并且,则有：,(1)ACB20时具有极值，且当A0时有极小值；(2)ACB20、y0).,而S(x,y)仅有一个稳定点，故当,S有最小值，从而所用材料最省.,由题知使材料最省，只须表面积最小.,时，,第十七章多元函数微分学4泰勒公式与极值问题,令,得,17,例某厂生产甲产品x吨，乙产品y吨时，总成本为,当甲、乙产量各为多少吨时，总成本C最低?,由题知最低成本总是存在的.而C(x,y)仅有一个稳定点，故(6,20)就是函数C的最小值点.即当生产甲产品6吨，乙产品20吨时，总成本C达到最小值.,例9,*例10(最小二乘法)(P139),第十七章多元函数微分学4泰勒公式与极值问题,18,习题：P1404习题7-16题,P142总练习题1-2题,补充经济应用,第十七章多元函数微分学4泰勒公式与极值问题,19,备例某商品的生产函数为，其中Q为产品产量，K为资本投入，L为劳动投入；又知资本投入价格为4，劳动力投入价格为3，产品销售价格为p=2.求该产品利润最大时的投入和产出水平以及最大利润.,解由题意知：成本函数为C(K,L),收益函数为R(K,L),G(K,L)=R(K,L)C(K,L)=,则最大利润为,则利润函数为,第十七章多元函数微分学4泰