高考专题：平面向量中的三角形“四心”问题题型总结

专题：平面向量中三角形“四心”问题类型的总结三角形中，“四心”是一组特殊点，它们的向量表现形式具有很多重要性质，近年来高考问题中经常出现一些罕见的问题，不仅是向量等知识点，还培养了考生分析问题、解决问题的能力。1 .“四心”的概念和性质(1)重心：三角形三条中线的交点称为重心。 到三角形顶点的距离与从该点到对边的中点的距离之比为2:1 .向量表现中，设点g为ABC所在平面内的点，设点g为ABC的重心，则2222222222222222222222222222226 c是三角形的重心和三个顶点，分别(2)垂心：三角形的三条高线的交点称为垂心.与顶点的线垂直于对边.在矢量表现中，h为ABC的垂心，=或2 2=2 2=2 2 .相反，若为ABC的垂心.(3)心：三角形三条内角二等分线的交点称为心.心是三角形的内切圆的中心，到三角形的三边的距离相等.在矢量表现形式中，点I是ABC的心，则为| | |=0.相反，如果| | |=0，则点I是ABC的心.(4)外心：三角形三边的中垂线的交点称为外心.外心是三角形的外切圆的中心，到三角形的三个顶点的距离相等.在向量表现中，如果点o是ABC的外心，则点o=()=()=0或|2222222222222262 .关于“四心”的典型例题已知o是平面上一定点，a、b、c是平面上没有共线的三个可动点，当可动点p满足=()(0，)时，点p的轨迹一定通过ABC的_心.根据原来的方程式可知，-=()，即=()，根据平行四边形的法则，是与ABC的中心线对应的矢量的2倍，所以点p的轨迹应该超过ABC的重心.回答重量评价如果求出动点的轨迹通过某个点，并确定该轨迹与三角形中的哪个特殊线段直线重叠，则可以根据已知的方程式利用矢量的线性算法进行运算.已知2abc内的一点o满足关系2 3=0，求出sboc:scoa:saob的值.解从ob延长了B1、BB1=OB、从OC延长了C1、CC1=2OC、AB1、AC1、B1C1，如图所示因此，sb1oc1=sc1oa=saob1=s，其中s表示ab1c1的面积因此，SCOA=S，SAOB=S，sboc=sb1oc=sb1oc1=s .sboc:scoa:saob=:=1:2:3本问题的条件2 3=0与三角形的重心的性质=0非常相似，因此通过追加辅助线，将点o设为辅助三角形的重心，连接三角形的重心和顶点的线将三角形的面积三等分，能够求出三个部分的面积比。已知当引用推进ABC内的一点o满足关系1 2 3=0时，sboc:scoa:saob=1:2:3 .例3求证：ABC的垂心h、重心g、外心o三点共线，|HG|=2|GO|关于证明ABC的重心g，很容易理解=设相对于ABC的垂心=m ()=m( )=(m-1) m m。从=0到 (m-1 )毫米 (-)=0(m-1) (-) m(2-2)=0因为|=|因此，(m-1)(-)为0 .但不一定是垂直的，所以只有在m=1时，上式总是成立.因此，=222222222222222222226介绍推进重心g和下垂心h关系：=() .评分这是著名的欧拉线，提示了三角形的“四心”的关系。 我们选择了适当的基矢量来表达它们。 当然，最佳向量是包含顶点a、b、c的向量。例4 假设a 1、A2、A3、A4、A5是在平面上给出的五个不同点，则为22222220000000000000A.0 B.1C.5 D.10分析根据三角形中的“四心”知识，在ABC中，22222222222222222222222回答b本问题的详细解答过程是，关于空间的两点a、b，满足=0的点m是线段AB的中点的