高等数学导数习题ppt课件

.,导数的应用,习题课(4),.,.,内容总结,1、微分中值定理，LHospital法则,理解Rolle定理和Lagrange中值定理，会运用其证明一些命题、等式及不等式,了解Cauchy中值定理和Taylor中值定理的条件，会用Taylor公式进行近似计算,熟练掌握LHospital法则,.,2、导数的应用,掌握利用函数导数的符号判定函数单调性的方法,掌握利用函数单调性证明不等式的方法,理解极值的概念，掌握极值点的判定和极值的求法,了解函数曲线的凹凸性与拐点的概念，掌握曲线的凹凸性与拐点的判定,会利用函数的单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线等性态描绘函数的图形,明确函数的最值与极值在概念上的区别，掌握最值的求法及其简单应用,.,作业中问题的讲析,.,典型例题讲析,分析要证，即要证,设函数(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，证明在(a,b)内至少存在一点，使,或,可取F(x)=(b-x)(x)-(a)，利用罗尔定理证明.,证明令F(x)=(b-x)(x)-(a)，则有F(x)在a,b上连续、在(a,b)内可导，且有F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知(a,b)，使，即,.,设f(x)在a,b上连续、在(a,b)内可导(a0,b0),求证方程在(a,b)内至少有一个实根.,分析不可用介值定理证明(不一定连续)；,考虑中值定理，为此方程变形为,则若取,有,且,.,证明令,则F(x)也在a,b上连续、在(a,b)内可导，且,由罗尔定理知(a,b)，使，即,或,又证取函数f(x)和F(x)=lnx，用柯西中值定理.,即为原方程的一个实根.,.,下面的证法为什么错了？f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理条件，故有,又令F(x)=lnx，它在a,b上也满足拉格朗日中值定理条件，故有,两式相除得,即,故为原方程的一个实根.,.,讨论函数在x=0点的连续性.,解,其中,故,又,而,故f(x)在x=0点连续.,.,解,求下列极限：,故该极限不存在.,注意：这里不是不定式，不能用罗必达法则.,.,解,求下列极限：,.,当k为何值时,方程x-lnx+k=0在区间(0,+)上(1)有相异的两个实根,(2)有唯一的实根,(3)无实根?,解,记有,，故x=1为极小值点，又f(x)在(0,+)内只有一个驻点，所以f(1)为f(x)在(0,+)内的最小值，且fmin=f(1)=1+k,又,(1)当1+k-1时,原方程无实根.,于是,.,解,证明当时，sinx+tanx2x,取,因此在上严格单调增，故,从而f(x)在上严格单调增，即,亦即sinx+tanx-2x0,或sinx+tanx2x,.,曲线上那一点处的法线在y轴上的截距最小？,解,设在(x,y)处的法线为,因故法线方程为,整理后为,法线在y轴上的截距为,求其极值：,令解得x1=1,x2=-1(舍去),故b(1)极小值，亦即最小值，,从而在点(1,1/3)处，曲线的法线在y轴上的截距最小.,.,当a,b为何值时,点(1,3)为曲线的y=ax3+bx2拐点？,解,令得,当时，,曲线在上严格上凸；,当时，,当时，,曲线在上严格下凸；,于是点为曲线唯一的拐点.,而要使(1,3)为拐点,须,即,.,课内练习题,1.f(x)在0,1上可导，0f(x)0)有几个实根？,4.证明不等式,.,5.讨论函数的性态，并作图.,课外练习题,6.设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导.连接点A(a,f(a)和B(b,f(b)的直线段AB与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c)(af(0)=0，即,(2)提示：取f(t)=tlnt,t(0,+)，证明该函数严格下凸.,4(1)取则有,再取,.,5.曲线有两条渐近线：x=-1,y=x-2，性态列表如下：,6.提示：对f(x)分别在a,c和c,b上运用拉格朗日中值定理，再对在1,2上运用罗尔定理.,7