债券组合信用VaR度量金融计算与建模

第18章债券组合信用VaR度量,清华大学经管学院朱世武ZhushwResdat样本数据：SAS论坛：,计算单只债券的信用风险,信用评级转移概率债券信用风险指由于信用质量改变而引起的价值变动的风险。每个债券信用质量用8种评级之一来表示(AAAAAABBBBBBCCCDefault)。不仅违约会导致风险，而且升降级引起的价值变化也会导致风险。所以需要估计风险期内信用评级转移到其他任何可能信用状态的概率。债券发行者的信用级别决定了债券在风险期内违约或者转移到任何可能信用评级的概率。,A级,AAA级和BBB级债券一年后的信用评级转移概率,图18.1信用等级转移实例（1年风险期）,通过观测大量公司的信用评级历史数据来得到转移概率。这隐含两个假设：(1)假设所有公司的信用评级是正确的；(2)假设具有相同信用级别的所有公司将来表现行为一致转移到其他信用级别的概率均相同。下页表中用矩阵表示所有级别债券的转移概率。,表18.1年期转移概率矩阵,表18.1最左边一列是债券当前的信用评级，沿着那行的各列是风险期末的评级。例如，左下角的数字0.22说明了一个信用评级为CCC的债券在1年末转移到AAA信用级别的概率是0.22。,债券定价,确定了单只债券在风险期末转移到任何可能信用状态的概率后，就可以确定风险期末相应信用状态上债券的价值。每个转移状态计算一次价值，因而每只债券有8个新定价。这8个定价可分为两类。第一类，在违约情况下，需要基于债券的优先级估计恢复率。第二类，在升降级的情况下，需要估计由于信用评级变化导致的信用价差的变化，即通过计算债券在新的收益率下，剩余现金流的现值来估计它的新价值。,违约状态下的定价,如果债券信用评级转移到违约，则恢复后残留净值将依赖于债券的优先级。表2提供了违约状态下的恢复率和恢复率的标准差。表18.2恢复率（面值）,表18.2给出了恢复率均值（中间列）和恢复率的标准差（最后一列）。例如，有一个BBB级的债券是优先无担保的（面值100美元），则它违约时的均值为面值的51.13，恢复率的标准差是25.45。如果该债券发生违约，则它的价值为：V=100*51.13=51.13美元。,升降级状态下的定价,(1)得到每一个评级类别的一年期远期利率曲线。远期利率从风险期末开始到债券到期。(2)利用这些远期利率数据，对各个级别债券的剩余现金流进行定价。假设有一个BBB级债券，面值为100美元，5年到期，息票率为6%。假定各个级别债券1年后的远期利率由表3给出。表31年后的远期利率曲线（）,假定1年末该BBB级债券升级到A，价值用下面的公式来表示：上式计算了1年末该BBB级债券升级到A级时的价值。对转移到所有级别债券完成相似计算，可得表4。表4BBB级债券转移到相应级别的年末价值,估计信用风险,根据前面的数据和计算公式，得到BBB债券的年末价值和信用评级转移概率如表18.5所示。表5BBB级债券的年末价值和信用评级转移概率,标准差作为信用风险的度量指标,设为状态转移概率，为相应状态下的价值（表5的第2，3列）。计算均值和标准差：,由信用级别变化而引起的价值变化的标准差为$2.99，此值为一种信用风险值，如果进一步假设价值服从正态分布，可得置信水平为99%的信用风险值为$6.96（=2.99*2.33,其中，SAS函数probit(.0.01)=-2.33，99%置信水平对应的分位数为1%）。,均值与百分位数的差作为信用风险的度量指标,表18.5显示了BBB级债券在风险期末任何给定信用级别的概率和价值。假设要计算BBB级债券年末价值的1%分位数，计算过程如下。从表18.5的底部违约状态开始，然后逐渐升级到AAA级状态。向上移动的同时，计算概率和。当这个概率和第一次达到或超过1%时，所对应的值就是该债券年末价值的1%分位数。具体过程：违约状态时概率是0.18，该值小于1%，向上移动到CCC状态；违约和CCC的概率和是0.30（0.18+0.12），仍然小于1%，继续向上移动；违约，CCC，B三者概率和等于1.47（0.30+1.17），该值超过了1%，因而，停止移动。这时，相应的年末价值等于98.10美元，这就是债券年末价值的1%分位数，它与均值的差为8.97美元（$107.07-$98.10=$8.97）。BBB级债券的信用风险为：$107.07-$98.10=$8.97.,计算债券组合的信用风险,联合概率这里只考虑包括两个特定债券的组合。两个债券在可能的转移期限内，有88=64个可能的状态。获得联合概率的最简单方法是假设两个债券信用级别变化是独立的，这时，联合概率是单个概率的乘积。如下表18.6中所示，两个债券（BBB级和A级）保持他们原先的级别的联合概率就是79.15。等于86.93（BBB级期末仍旧保持在BBB级的概率）与91.05（A级债券期末仍保持在A级的概率）的乘积：79.1586.9391.05。,表18.6两独立债券（BBB级和A级）的联合转移概率（）,资产收益率模型,假设两个债券信用级别的变化相互独立是不现实的，因为他们信用评级的变化至少受同样的宏观经济变量的影响。因此其信用评级或违约率的变化将具有某种程度的相关性但由于是实际违约资料的稀缺性，导致很难观察或估计信用等级的联合转移状况。下面给出了一种解决方案，即引入公司资产收益率模型，该模型将公司资产收益率与信用级别联系起来。令Z表示资产收益率。将债券的信用等级变动与发行公司的权益价值变动相联结，将信用评级的变化转换为由一些相对应的资产收益率门槛值来表示。,图18.2未来一年可能的资产收益率门槛值与相应的信用评级变化（以BB级债券为例）,图18.2中横轴的不同Z值表示BB级债券的资产收益率门槛值，例如，表示债务人发生违约；表示发债公司的等级被降为CCC级。,这样，知道公司的资产收益率门槛值，就可以得出信用评级的变化。所以，这里只需要对公司的资产收益率门槛值变化建模就可以了。假设公司资产收益率的变化是正态分布，均值为，标准差为。下面以BB级债券为例，说明由债券评级转移概率计算资产收益率门槛值的方法。,表18.7中第一列为BB级债券未来一年的转移概率。由于假设资产收益率Z服从正态分布，则通过下面评级转移概率与资产收益率门槛值之间的关系，,依次可求得各等级的收益率门槛值，如表18.7中第4列。上式中代表标准正态分布的累积分布函数。,表18.7BB级债券评级转移概率与收益率门槛值,这里没有给出的值，因为任何高于的收益率意味着升级到AAA。,现在考虑另一个A级债券。同样假设A级债券资产收益率的变化是正态分布，均值为，标准差为。由表示其对应的资产收益率，它的资产收益率门槛值由等表示。A级债券的转移概率和资产收益率门槛值如表18.8所示。,表18.8A级债券转移概率和资产收益率门槛值,为了描述两个债券信用评级的联合变化，假设这两个资产收益率服从相关系数为的二元正态分布。这样，就可以利用资产收益率门槛值来计算两个债券的信用评级联合转移概率。例如，希望计算两个债券均保持当前信用评级不变的概率。即BB级对应的资产收益率在到之间，A级对应的资产收益率在到之间。如果两个资产收益率是独立的（），则这个联合概率是80.53（BB保持在BB的概率）与91.05（A保持在A的概率）的乘积。如果不等于0，则联合概率为：,其中，是相关系数为的二元正态分布的密度函数。即，,此处可以令（资产收益率门槛值标准化）。,表18.9BB级和A级债券的联合评级转移概（）,相同的方法可以计算两个债券的64个联合评级转移概率，假设，利用SAS编程求得概率如表18.9所示。,组合信用风险,用标准差作为信用风险测量指标时的相关公式：,两项资产：,更一般的，当组合资产为n项（），各项均值为，方差为。令，则组合的方差为：,三项资产组合的标准差：,实际应用时，使用下面的向量形式方便计算。,计算两债券组合信用风险值的sas程序：以18.2.2中的两只债券组合为例，一只为BB级债券，另一只为A级债券。prociml;recovery=53.80,51.13,38.52,32.74,17.09;/*创建恢复率矩阵*/recovery=recovery/100;forward=3.604.174.735.12,3.654.224.785.17,3.724.324.935.32,4.104.675.255.63,5.556.026.787.27,6.057.028.038.52,15.0515.0214.0313.52;/*一年期远期利率矩阵*/forward=forward/100;par=100;coupon=0.06;tran=90.818.330.680.060.12000,0.7090.657.790.640.060.140.020,0.092.2791.055.520.740.260.010.06,0.020.335.9586.935.301.170.120.18,0.030.140.677.7380.538.841.001.06,00.110.240.436.4883.464.075.20,0.2200.221.302.3811.2464.8619.79;/*一年期等级转移概率矩阵*/tran=tran/100;rating=53;/*对应等级BB,A*/prob=t(tranrating,);v=80;,doi=1to7;vi=coupon*par*(1+1/(1+forwardi,1)+1/(1+forwardi,2)#2+1/(1+forwardi,3)#3+1/(1+forwardi,4)#4)+par/(1+forwardi,4)#4;end;/*一年后的价值*/v8=par*recovery2;z=J(9,2,0);/*创建9行2列元素全为0矩阵*/z9,=-40;z1,=8;z8,=probit(prob8,);doi=7to2by-1;zi,=probit(probi,+probnorm(zi+1,);end;btran=J(8,8,0);value=J(8,8,0);doi=1to8;doj=1to8;btrani,j=probbnrm(zi,1,zj,2,0.2)-probbnrm(zi+1,1,zj,2,0.2)-probbnrm(zi,1,zj+1,2,0.2)+probbnrm(zi+1,1,zj+1,2,0.2);valuei,j=vi+vj;end;end;mean=sum(btran#value);var=sum(btran#value#value)-mean#2;std=sqrt(var);printprob,z,btran,value,mean,std;run;,MEANSTD209.901166.1698569,要计算第二种信用风险测度指标，即计算均值与组合价值1%分位数的差，首先要确定资产价值的1%分位数，即找出组合中的一个值，这个值以下的所有概率和小于1%。在组合中的资产不超过2个的条件下，可以简单地利用转移概率表中的值计算出1%水平下的信用风险值。但是对于更大的组合，用解析的方法来计算百分位数是行不通的必须采用模拟的方法。,蒙特卡罗模拟,前面使用的是解析方法估计信用风险值。这种方法有两个有优点：一是速度快，二是精确程度高。但也存在着两个缺点：一是对于数量很大的组合，速度就会变得很慢；二很多有用的统计量也没有解析的估计形式。为了更好地描述组合的分布，下面使用蒙特卡罗模拟方法。考虑一个包括三个债券的组合：BBB级债券；A级债券；CCC级债券，相对应的公司分别是firm1，firm2，firm3。简单起见，假设这三只债券的面值均为100美元，5年到期，息票率为6%。,生成情景,基于资产收益率模型，生成情景的步骤如下：建立组合中每个债券的资产收益率门槛值；由正态分布模拟资产收益率情景；由资产收益率情景影射出信用评级情景。,确定资产收益率门槛值,表18.10三个债券（BBB,A和CCC）的信用评级转移概率,根据资产收益率模型，利用表18.10中的转移概率可以确定出3个公司的资产收益率门槛值，如表18.11所示。,表18.11三公司资产收益率门槛值,模拟资产收益率情景,表18.12三公司资产收益率的相关系数,表18.13模拟资产收益率的10个情景,每个情景中的3个数代表了3个公司的标准化后的资产收益率.,Prociml;corr=1.00.30.1,0.31.00.2,0.10.21.0;/*相关系数矩阵*/rv0=rannor(repeat(0,100,3);/*种子为0，产生10个随机数，3个变量*/rv0=t(rv0);rv=root(corr)*rv0;rv=t(rv);Printrv;createscenariofromrv;appendfromrv;closescenario;run;quit;,由资产收益率情景映射到信用评级情景,表18.14由资产收益率情景到评级情景的映射,资产收益率情景到评级情景的映射的SAS程序：prociml;usescenario;readallintorv;usez;readallintoz;ratingmap=J(100,3,0);dom=1toncol(rv);doi=1tonrow(rv);doj=8to1by-1;ifrvi,mz1,mthenratingmapi,m=1;ifrvi,mzj,mthendo;ratingmapi,m=j;j=0;end;end;end;end;printz,rv,ratingmap;createratingmapfromratingmap;appendfromratingmap;closeratingmap;run;quit;,由资产收益率情景到评级情景的映射(RATINGMAP)43643843743743733753743743736,组合定价,对于前面给出的债券组合，利用蒙特卡罗模拟方法计算一年后这个组合的信用风险值。组合情况：三个债券构成的组合，BBB级债券；A级债券；CCC级债券，相对应的公司分别是firm1，firm2，firm3。假设这三只债券的面值均为为100美元，5年到期，息票率为6%。,对于非违约情景，可以采用解析法中的算法。对于每一个情景，新的评级影射到一个新的价值。一种情景下的组合价值计算：例如若1年末组合中BBB级债券升级到A，A级债券降级到BBB，CCC级债券的级别未发生变化，则1年末的债券价值分别是：,组合价值为：,对于违约的情景，情况有点不同。因为恢复率是一个不确定的量，有较大的波动性。可以根据情景中资产头寸的优先级获得他们恢复率的均值和标准差。对每一个违约情景，用这些参数和beta分布