高中周期函数的判定方法

周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论。本文在高中数学的基础上，对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，用初等的方法进行一些探讨。1、周期函数的定义及性质定义：设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；（1）对有（XT）；（2）对有f（X+T）=f（X）则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。例1常数值函数f（X）=C（C是常数）是实数集R上以任意非零实数为周期的周期函数。狄利克莱函数D（X）=是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数。由于正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期。2、性质：（1）若T（0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。（因fx+(T-T)=fX+(-T)=f(X)）。因而周期函数必定有正周期。（2）若T（0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。证：当n0时，f(x+nT)=fx+(n-1)T+T=fx+(n-1)T=f（x+T）=f(X)。当n0时，-n0，由前证和性质1可得：nT=-（-nT）是f(X)的周期。当n为任意非零整数时命题成立。（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1T2也是f(X)的周期。（因fx+（T1T2）=f（x+T1）=f(X)）。（4）、如果f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。否则必存在n1rZ+（Z+为正整数）使T=n1T*+r（0rT*），则对（f(X)的定义域）有f(X)=f（x+T）=f（x+n1T*+r）=f（x+r），r也是f(X)的正周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾。T必是T*的正整数倍。（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则（Q是有理数集）证：据条件和性质4知，存在K1、K2Z，使T1=K1T*，T2=K2T*，。（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且是无理数，则f(X)不存在最小正周期。（用反证法据性质5即可证得）。（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。证：若T是f(X)的周期，则nT（n，n0）也是f(X)的周期，有XnTM，M双方无界，但并非M必定（-、+），如tgX和ctgX的定义域分别为XK+/2和XK（K）。例2：f(X)=sinX（10）不是周期函数。3、周期函数的判定定理1若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则Kf(X)+C（K0）和1/f(X)分别是集M和集X/f(X)0，X上的以T*为最小正周期的周期函数。证：T*是f(X)的周期，对有XT*且f(X+T*)=f(X)，Kf(X)+C=Kf(X+T*)+C，Kf(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。假设T*不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T（0TT*）是Kf(X)+C的周期，则对，有Kf(X+T)+C=Kf(X)+CKf(X+T)-f(X)=0，K0，f(X+T)-f(X)=0，f(X+T)=f(X)，T是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，T*也是Kf(X)+C的最小正周期。同理可证1/f(X)是集X/f(X)0，X上的以T*为最小正周期的周期函数。定理2：若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集X/aX+b上的以T*/为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。证：（先证是f(ax+b)的周期），T*是f(X)的周期，有XT*M，a（X）+b=ax+bT*M，且fa（X+）+b=f（ax+bT*）=f（ax+b）是f（ax+b）的周期。再证是f（ax+b）的最小正周期假设存在T（0T）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT）=f（ax+b），因当X取遍X/XM,ax+bM的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，aT是f(X)的周期，但=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。定理3：设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当XM1时，g(x)M，则复合函数f(g(x)是M1上的周期函数。证：设T是u=g(x)的周期，则1有（xT）M1且g（x+T）=g(x)f(g(x+T)=f(g(x)=f(g(x)是M1上的周期函数。例3设=f(u)=u2是非周期函数，u=g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x)=cos2x是R上的周期函数。同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx0)也都是周期函数。例4，f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a0)是非周期函数，f(g(x)=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。例5，f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)=（非周期函数）而f(g(x)=cos是非周期函数。证：假设cos是周期函数，则存在T0使cos（kZ）与定义中T是与X无关的常数矛盾，cos不是周期函数。由例4、例5说明，若f(u)是周期函数，u=g(X)是非周期函数，这时f(g(x)可能是，也可能不是周期函数。定理4：设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。证：设（(pq)=1）设T=T1q=T2p则有：有（xT）=（xT1q）=（xT2p）M，且f1(x+T)f2（x+T）=f1(x+T1q)f2（x+T2p）=f1(X)f2(X)f1(X)f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X)、f2(X)是以T为周期的周期函数。推论：设f1(X)、f2(X)fn(X)是集M上的有限个周期函数T1、T2Tn分别是它们的周期，若，（或T1，T2Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。例6，f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2、/2的最小公倍数2为周期的周期函数。例7，讨论f(X)=的周期性解：2tg3是以T1=为最小正周期的周期函数。5tg是以T2为最小正周期的周期函数。tg2是以T3=为最小正周期的周期函数。又都是有理数f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）=为最小正周期的周期函数。同理可证：（1）f(X)=cos;(2)f(x)=；(3)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。定理5，设f1(x)=sina1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2Q。证：先证充分性：若a1/a2Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1=、T2=，又Q由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。（1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T0，使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x2cos(a1x+)sin=-2sins(a2x+)sin(1)。令x=得2cos（a1x+），则（KZ）。(2)或CZ（3）又在（1）中令2sin（a2x+）sin=-2sin=0由(4)由sin（5）由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。由（3）、（5得）（6）无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2。（2）设sinaxcosa2x为周期函数，则是周期函数。例8求证f(X)=sinx+cosx是非周期函数。证：假设f(X)是周期函数，则是无理数矛盾。f(X)是非周期函数。4、非周期函数的判定（1）若f(X)的定义域有界例9，f(X)=cosx（10）不是周期函数。（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)=f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)-f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数，如例，f(X)=cos是非周期函数（例5）。（3）一般用反证法证明。（若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数）。例10证f(X)=ax+b(a0)是非周期函数。证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（0），使对，a（x+T）+b=ax+bax+aT-ax=0aT=0又a0，T=0与T0矛盾，f(X)是非周期函数。例11证f(X)=是非周期函数。证：假设f(X)是周期函数，则必存在T（0）对，有(x+T)=f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T0,f(x+T)=1，f(x+T)f(X)与f(x+T)=f(X)矛盾，f(X)是非周期函数。例12证f(X)=sinx2是非周期函数证：若f(X)=sinx2是周期函数，则存在T（0），使对，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，T2=K（KZ），又取X=T有sin(T+T)2=sin（T）2=sin2k=0，(+1)2T2=L(LZ+)，与3+2是无理数矛盾，f(X)=sinx2是非周期函数。例13证f(X)=cos(lgx)为非周期函数证：若f(X)=cos(lgx)是周期函数，则必存在T（0）使对0有coslg(x+T)=cos(lgx),当x=T时，cos(lg2T)=cos(lgT)，当x=2T时，有cos(lg3T)=cos(lg2T)=cos(lgT)，当x=9T时有cos(lg10T)=cos(lg9T)=cos(lg8T)=cos(lgT)cos(lgT)=cos(lg10T)=cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT)同理可得当X=99T时有cos(lgT)=若sin(lgT)0时，有cos1-cos21=sin21cos1=1显然不成立。又若sin(lgT)=0则lgT=Kcos(lgT)=1cos(lg10T)=cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT)=cos1=1同样不成立cos(lgx)是非周期函数。证法2：cos(lgx)的定义域为x0，不是双方无界集合，由性质可知cos(lgx)不是周期函数。类似的还可证f(X)=cos(arccosx)为非周期函数。对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 周期函数性质： （1）若T（0）是f(X)的周期，则-T也是f