排列组合课件

.,1,补充知识:排列组合,.,2,做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1m2mn种不同的方法.,2.乘法原理：,做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.,1.加法原理：,复习引入,.,3,引例1在航海中，航舰之间常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号.现有红、黄、蓝三面旗子，同时升旗，共可表示多少种不同的信号？,观察与思考,上,中,下,红,黄,蓝,黄,蓝,红,蓝,红,黄,蓝,黄,蓝,红,黄,红,复习引入,.,4,引例1在航海中，航舰之间常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号.现有红、黄、蓝三面旗子，同时升旗，共可表示多少种不同的信号？,引入概念,上,中,下,红,黄,蓝,黄,蓝,红,蓝,红,黄,蓝,黄,蓝,红,黄,红,红,黄,蓝,以上的每一种“旗语”利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号.就叫做“从3个元素中选取3个元素的一个排列”.本问题共有6个不同的排列！,根据乘法原理：3216.,深化理解,把这个计算过程,.,5,引例2从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？,第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任选1名，有3种选法,第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法,根据乘法原理：32=6即共6种方法.,复习引入,.,6,引例2从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？,上午,下午,相当于队列站法,深化理解,.,7,引例2从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？,从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法.,我们把上面问题中被取的对象叫做元素.,所有不同排法是ab,ac,ba,bc,ca,cb.,甲乙丙的每一种排列法，就叫做“从3个元素中选取2个元素的一个排列”.共有326个排列.,深化理解,把这个计算过程,.,8,所有不同排法是,深化理解,引例3由1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数字的三位数？,每一个数，就叫做一个“排列”.,.,9,引例3由1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数字的三位数？,解：要得到一个由1、2、3、4、5能组成没有重复数字的三位数，可以通过如下三步：,从1、2、3、4、5中选1个放到第一位，有5种放法；,从1、2、3、4、5中剩余的4个中选1个放到第二位，有4种放法；,从1、2、3、4、5中剩余的3个中选1个放到第二位，有3种放法.,根据乘法原理，得到一个这样的三位数有,N=54360种不同的方法，,这样的三位数60个.,复习引入,把这个计算过程,.,10,一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.,排列的概念：,理解：n个元素是不同的，取出的m个元素是不同的.m,n是正整数，且mn,排列是m步的集成结果：“取出第1个元素放到第1位”、“取出第2个元素放到第2位”、“取出第m个元素放到第m位”.,两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也完全相同.,基本概念,或看作是两大步的集成结果：先“取出m个不同元素”，再“按照一定顺序将m个不同元素排成一列”.,.,11,练习1从a,b,c,d这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列,共有多少种不同的排法？,解：共有432=24个.,所有的排法：,abcabdacbacdadbadcbacbadbcabcdbdabdccabcadcbacbdcdacdbdabdacdbadbcdcadcb,课堂练习,.,12,排列数的概念：,从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.,用符号表示.,如:从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法.,基本概念,下标n是被选数,上标m是选出数,.,13,问题：从n个不同元素中出2个元素的排列数是多少？,呢？,呢？,=n(n-1),n,n-1,n-2,=n(n-1)(n-2),公式推导,.,14,排列数公式：,公式的特点：,基本公式,是“取出第1个元素放到第1位”的方法数、“取出第2个元素放到第2位”的方法数、“取出第m个元素放到第m位”的方法数的乘积.,所以，是以上m步的集成的运算公式！,m个连续自然数的连乘积；,最大因数为n以下依次减1，最小因数是（n-m+1）.,.,15,引例1在航海中，航舰之间常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号.现有红、黄、蓝三面旗子，同时升旗，共可表示多少种不同的信号？,解：每一种“旗语”就是“从3个元素中选取3个元素的一个排列”.排列数为：,3216.,深化理解,共可表示6种不同的信号.,.,16,引例2从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？,解：问题可以看为从3个不同的元素中任取2元素的排列问题.其排列数为：,深化理解,326.,共有6种不同的方法.,.,17,引例3由1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数字的三位数？,解：可以看为从5个不同的元素中任取3元素的排列问题.其排列数为：,深化理解,54360.,共有这样的三位数60个.,.,18,排列数公式：,例计算（1）（2）,解：（1）,（2）,例题讲解,.,19,选择题：等于（）（A）（B）（C）（D）,D,练习2,课堂练习,排列数公式：,.,20,（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？,（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？,练习,课堂练习,.,21,组合与组合数公式,.,22,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,.,23,问题二,问题一,有顺序,无顺序,.,24,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.,排列与组合的概念有什么共同点与不同点？,（一）、组合的定义:,?,.,25,组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.,共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.,概念讲解,.,26,思考一:aB与Ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?,思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,概念理解,构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.,思考三:组合与排列有联系吗?,.,27,判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?,组合问题,组合问题,组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.,.,28,1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:,ab,ac,bc,2.已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.,ab,ac,ad,bc,bd,cd,(3个),(6个),概念理解,.,29,从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.,如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:,如:已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：,概念讲解,（二）、组合数,注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来,.,30,1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合,abc，abd，acd，bcd.,b,c,d,d,c,b,a,c,d,练一练,.,31,组合,排列,abcbaccabacbbcacba,abdbaddabadbbdadba,acdcaddacadccdadca,bcdcbddbcbdccdbdcb,（三个元素的）1个组合，对应着6个排列,你发现了什么?,.,32,.,33,（三）、组合数公式,排列与组合是有区别的，但它们又有联系,一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：,第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数,第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数,根据分步计数原理，得到：,因此：,这里m,n是自然数，且mn，这个公式叫做组合数公式,概念讲解,.,34,组合数公式:,从n个不同元中取出m个元素的排列数,.,35,组合数的两个性质:,证明:,.,36,公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；,此性质的作用：恒等变形，简化运算；,等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.,.,37,例一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？,解：（1）,取出3个球中有黑球的方法数,例题讲解,.,38,例1一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？,解：（1）,取出3个球中有黑球的方法数,取出3个球中无黑球的方法数,例题讲解,.,39,例一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？,解：（3）,按照黑球分类，,取出3个球中有黑球的方法数,从口袋内取出3个球，共有取法,另法，一次取出的方法数,取出3个球中无黑球的方法数,.,40,例计算：,解：原式,例题讲解,.,41,D,190,巩固练习,.,42,3有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是,10,46人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？,解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共有不同的去法,巩固练习,.,43,小结,2.组合数性质:,1.组合数公式:,.,44,例、计算：,（2）列出所有冠亚军的可能情况.,（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙,（1）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解：,例题分析,（3）已知：，求n的值,35,(2)120,(3)8,.,45,例,.,46,例5个人站成一排共有多少种排法？其中甲必须站在中间，有多少种不同的排法？其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？(7)、甲与乙中间必须排2名，有几种排法？,.,47,例5个人站成一排其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？,解：甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余3人中选2人来站，有种排法，剩下的人有种排法，共有种排法.,(特殊位置预置法),(特殊元素预置法),(排除法),.,48,例5个人站成一排其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？,解：甲站排头有种排法，乙站排尾有种排法，但两种情况都包含了“甲站排