概率第十二讲 3.1-3.4

前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,引言,主要应看这批灯泡的平均寿命和灯泡寿命相对于平均寿命的偏差平均寿命越长,灯泡的质量就越好,灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小,灯泡的质量就越稳定,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.,下面我们来学习随机变量的数字特征,例如，评定一批灯泡的质量,1数学期望的概念,3数学期望的性质,2随机变量函数的数学期望,4.小结,第十二讲数学期望,引例1分赌本问题(产生背景),A,B两人赌技相同,一、数学期望的概念,该如何分配才算公平?,如果要分赌金,不得不终止赌博,在A胜2局B胜1局时,外情况,由于出现意,取得全部200元.,胜,并约定先胜三局者为,金100元,各出赌,A胜2局B胜1局,前三局:,后二局:,把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果,相结合,即A、B赌完五局,AA,AB,BA,BB,A胜,B胜,分析,假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:,AA,AB,BA,BB,A胜B负,A胜B负,A胜B负,B胜A负,B胜A负,A胜B负,B胜A负,B胜A负,因此,A能“期望”得到的数目应为,而B能“期望”得到的数目,则为,故有,A,B最终获胜的,可能性大小之比为,在赌技相同的情况下,因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于,X的可能值与其概率之积的累加.,即为,若设随机变量X为:,则X所取可能值为:,其概率分别为:,继续赌下去A最终所得的赌金.,在A胜2局B胜1局的前提下,设某射击手在同样的条,引例2射击问题,试问:,命中环数k,射中次数记录如下,(命中的环数是一个随机变量).,件下,瞄准靶子相继射击90次,该射手每次射击平均命中靶多少环?,解,平均射中环数,设射手命中的环数为随机变量Y.,平均射中环数,“平均射中环数”的稳定值,“平均射中环数”等于,射中环数的可能值与其概率之积的累加,几点说明:,(2)数学期望E(X)是一个常数,而非变量它既不是随机变量所有可能取值的算术平均值，也不是随机变量的有限次观测值的算术平均值它是一种以概率为权的加权平均值,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值，具有重要的统计意义,请看下面的例子和实验,随机变量X的算术平均值为,假设,X的期望为,试问哪个射手技术较好?,实例1谁的技术比较好?,解,故甲射手的技术比较好.,实例如何确定投资决策方向?,某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?,解,设X为投资利润，则,存入银行的利息:,故应选择投资.,在数轴上任取很密的分点x1x2x3,则X落在小区间xk,xk+xk)内的概率是,设X是连续型随机变量,其密度为f(x),由于xk与xk+xk很接近,所以区间xk,xk+xk)中的值可以用xk来近似代替.,因此X取值xk、概率为的离散型随机变量,它的数学期望是,这启发我们引出如下连续型随机变量的数学期望定义：,连续型随机变量数学期望的定义,定义的引出,小面积近似为,定义,例设随机变量X密度为,试证E(X)不存在.,证明,柯西分布,=+,E(X)不存在.,数学期望不存在的随机变量,设已知随机变量X的分布,一种方法是:g(X)也是随机变量,它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦知道了g(X)的分布,就可以按照期望定义把Eg(X)计算出来.,如何计算X的某个函数g(X)的期望？,二、随机变量函数的数学期望,=1(0.1+0.4)+00.2+40.3,例设随机变量X的分布律为,求E(X2).,解E(X2),=1.7;,设X是一个随机变量，Y=g(X)（g为连续函数）,定理,推广,设随机变量Z是随机变量X,Y的连续函数=g(X,Y)，则,x,y,(1,1),(1)设C是常数，则E(C)=C;,(4)设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y);,(2)若C是常数，则E(CX)=CE(X);,(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);,（诸Xi独立时）,注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立,三、数学期望的性质,例求二项分布XB(n,p)的数学期望,若设,则X=X1+X2+Xn,=np,i=1,2，n,因为PXi=1=p,PXi=0=1-p,所以E(X)=,解由于X表示n重伯努利试验中某事件“发生”次数.,i=1,2，n,(2)随机变量函数的数学期望,(1)随机变量的数学期望,.数学期望的计算式,小结,(3)二维随机变量函数的数学期望,2.数学期望的性质,作业,(1)概念的引入,随机变量方差的概念,上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,你认为哪台仪器好一些呢？,乙仪器测量结果,测量结果的均值都是a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点