4.1.1圆的标准方程

4.1.1圆的标准方程,我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,复习引入,问题,当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了因此一个圆最基本要素是圆心和半径,引入新课,如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)的距离,符合上述条件的点的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？,符合上述条件的点的集合：,圆的方程,问题,圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)之间的距离能用什么公式表示？,圆的方程,根据两点间距离公式：,则点M、A间的距离为：,即：,把这个方程称为圆心为A(a,b)，半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.,x,y,O,C,M(x,y),已知圆的圆心C(a,b),半径r则圆的标准方程是：,知识点：一、圆的标准方程,二、求圆的标准方程的方法1、设圆的方程2、找出三个关于a、b、r的条件3、利用条件列出方程组4、解方程组得出a,b,r的值并代入标准方程中,三、圆心：确定圆的位置；半径：确定圆的大小,特殊位置的圆方程,因为圆心是原点O(0,0)，将a0，b0和半径r带入圆的标准方程：,问题,圆心在坐标原点，半径长为r的圆的方程是什么？,得：,整理得：,1.写出下列圆的方程：(1)圆心在原点,半径为3.(2)圆心在点C(3,-4),半径为7.(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).,2.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：,(1)(x+7)2+(y4)2=36,(2)(xa)2+y2=m2,(2)x2+（y+2）2=1,例1写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上,解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是：,把的坐标代入方程左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；,典型例题,把点的坐标代入此方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上,例1写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上,解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是：,典型例题,怎样判断点在圆内呢？还是在圆外呢？,点与圆的位置关系,探究,从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上,怎样判断点在圆内呢？还是在圆外呢？,点与圆的位置关系,探究,可以看到：点在圆外点到圆心的距离大于半径r；,点在圆内点到圆心的距离小于半径r,若(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C外;,若(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;,若(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C内.,设点M，圆:,三：判断点与圆的位置关系的方法：,把点M的坐标代入圆的方程,例2的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,3)，C(2,8)，求它的外接圆的方程,分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解：设所求圆的方程是（1）,因为A(5,1),B(7,3)，C(2,8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）于是,典型例题,所以，的外接圆的方程,典型例题,解此方程组，得：,分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解：,例2的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,3)，C(2,8)，求它的外接圆的方程,例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心C在直线上l：xy+1=0，求圆心为C的圆的标准方程,分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2)，由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线上又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线的交点，半径长等于|CA|或|CB|,解：因为A(1,1)和B(2,2)，所以线段AB的中点D的坐标,直线AB的斜率:,典型例题,因此线段AB的垂直平分线的方程是,即,典型例题,例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心C在直线上l：xy+1=0，求圆心为C的圆的标准方程,解：,所以圆心C的坐标是,圆心为C的圆的半径长,所以，圆心为C的圆的标准方程是,典型例题,解此方程组，得,例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心C在直线