苏科版九年级上2.5直线与圆的位置关系专题练习(三)含答案

直线与圆的位置关系专题练习（ 3） 1（ 2016大连）如图， O 的直径，点 C、 D 在 O 上， A=2 E 在 1）求证： O 相切； （ 2）若 ， ，求 O 的半径 2（ 2016锦州）如图，已知 0， D 为 中点，过点 C 的 垂线，垂足为点 F，过点 A、 C、 D 作 O 交 点 E，连接 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 长 3（ 2016兰州）如图， O 的内接三角形， O 的直径， 点 O，分别交 点 E、 D，且 C （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 O 的半径为 5， ，求 长 4（ 2016宿迁）如图 1，在 ，点 D 在边 ， ： 2：3， O 是 外接圆 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）当 O 的直径时（如图 2），求 度数 5（ 2016菏泽）如图，直角 接于 O，点 D 是直角 边 的一点，过点 D 作 垂线交 E，过点 C 作 延长线于点 P，连结 O 于点 F （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 长 6（ 2016荆州）如图， A、 F、 B、 C 是半圆 O 上的四个点，四边形 平行四边形， 5，连接 点 E，过点 C 作 平行线交 延长线于点 D，延长直线 点 H （ 1）求证： 半圆 O 的切线； （ 2）若 3 ，求 半径 长 7（ 2016本溪）如图， ， C，点 E 是线段 长线上一点， 足为 D， 线段 点 F，点 O 在线段 ， O 经过 C、 E 两点，交 点 G （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 E=30， ， ，求 O 的半径 8（ 2016茂名）如图，在 ， C=90， D、 F 是 上的两点，以 直径的 O 与 交于点 E，连接 F 作 点 G，其中 A （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， O 的半径为 r，求 面积（用含 r 的代数式表示） 9（ 2016宜宾）如图 1，在 ， 0， 角平分线，以 O 为圆心， 半径作圆交 点 G （ 1）求证：直线 O 的切线； （ 2）在图 2 中，设 O 相切于点 H，连结 D 是 O 的劣弧 上一点，过点D 作 O 的切线，交 点 B，交 点 C，已知 周长为 4， ，求长 10（ 2016西宁）如图， D 为 O 上一点，点 C 在直径 延长线上，且 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）过点 B 作 O 的切线交 延长线于点 E， ， 求 长 11（ 2016凉山州）阅读下列材料并回答问题： 材料 1：如果一个三角形的三边长分别为 a， b， c，记 ，那么三角形的面积为 古希腊几何学家海伦（ 公元 50 年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名他在度量一书中，给出了公式 和它的证明，这一公式称海伦公式 我国南宋数学家秦九韶（约 1202约 1261）， 曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： 下面我们对公式 进行变形：= = = 这说明海伦公式与秦九 韶公式实质上是同一公式，所以我们也称 为海伦秦九韶公式 问题：如图，在 ， 3， 2， ， O 内切于 点分别是 D、E、 F （ 1）求 面积； （ 2）求 O 的半径 12（ 2016桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作度量论一书中给出了计算公式海伦公式 S= （其中 a， b， c 是三角形 的三边长， p= ， 并给出了证明 例如：在 ， a=3， b=4， c=5，那么它的面积可以这样计算： a=3， b=4， c=5 p= =6 S= = =6 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决 如图 ，在 ， ， ， （ 1）用海伦公式求 面积； （ 2）求 内切圆半径 r 13已知： O 的直径， P 为 长线上的任意一点，过点 P 作 O 的切线，切点为 C， 平分线 于点 D （ 1）如图 1，若 好等于 30，求 度数； （ 2）如图 2，若点 P 位于（ 1）中不同的位置，（ 1）的结论是否仍然成立？说明你的理由 14如 图，已知 O 的直径，弦 于点 E，过点 A 作 O 的切线与 线交于点 F， ， ： 5， ： 3求： （ 1） 长度； （ 2） 值 15如图，点 P 在 y 轴上， P 交 x 轴于 A、 B 两点，连结 延长交 P 于 C，过点 y=2x+b 交 x 轴于 D，且 P 的半径为 ， （ 1）求点 B、 P、 C 的坐标； （ 2）求证： P 的切线 16已知等边三角形 2，以 直径的半圆与 交于点 D，过点 D 作 足为 F，过点 F 作 足为 G，连接 （ 1）求证： O 的位置关系并证明； （ 2）求 长 17如图一， O 的直径， 弦，直线 O 相切于点 C， 足为D （ 1）求证： （ 2）如图二，若把直线 上移动，使得 O 相交于 G， C 两点 （点 C 在点 G 的右侧），连接 题中其他条件不变，这时图中是否存在与 等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由 18完成下列各题： （ 1）如图，在矩形 ， E，求证： F； （ 2）如图， O 的直径， O 相切于点 A，连接 O 于点 D， 延长线交 O 于点 E，连接 5，求 C 的度数 19（ 2016扬州）如图 1，以 边 直径的 O 交边 点 E，过点 E 作 C 于点 D，且 （ 1）试判断 形状，并说明理由； （ 2）如图 2，若线段 延长线交于点 F， C=75， ，求 O 的半径和长 20如图，在 ，已知 C= D，点 P、 Q 分别从 B、 C 两点同时出发，其中点 P 沿 终点 C 运动，速度为 1cm/s；点 Q 沿 终点 B 运动，速度为 2cm/s，设它们运动的时间为 x（ s） （ 1）求 x 为何值时， （ 2）设 面积为 y（ 当 0 x 2 时，求 y 与 x 的函数关系式； （ 3）当 0 x 2 时，求证： 分 面积； （ 4）探索以 直径的圆与 位置关系，请写出相应位置关系的 x 的取值范围（不要求写出过程） 21（ 2015德阳）如图，已知 O 的弦， A 是 O 外一点， 正三角形， C 的中点 ， M 为 O 上一点，并且 0 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 E， F 分别是边 的两个动点，且 20， O 的半径为 2，试问 是，求出这个定值；若不是，请说明理由 22（ 2015厦门）已知四边形 接于 O， 0， 90，对角线 长 交于点 E （ 1）如图 1， D，求证： 等腰直角三角形； （ 2）如图 2，连接 点 E 作直线 得 0，当 30时，判断直线 O 的位置关系，并说明理由 23如图，在 ， C， A=30，以 直径的 O 交 点 D，交 点 E，连接 点 B 作 行于 O 于点 P，连接 （ 1） C 吗？说明理由； （ 2）求 度数； （ 3）求证： O 的切线； 如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息： 为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探 究，然后分别用不同的思路完成了这个题目在进行小组交流的时候，小明说： “设 点 G，证 小强说： “过点C 作 点 H，证四边形 矩形 ” 24等腰直角 O 如图放置，已知 C=1， 0， O 的半径为 1，圆心 O 与直线 距离为 5现 每秒 2 个单位的速度向右移动，同时 边长 以每秒 单位沿 向增大 （ 1）当 边（ 除外）与圆第一 次相切时，点 B 移动了多少距离？ （ 2）若在 动的同时， O 也以每秒 1 个单位的速度向右移动，则 开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？ （ 3）在（ 2）的条件下，是否存在某一时刻， O 的公共部分等于 O 的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由 25如图 1 在平面直角坐标系中， x 轴切于 A（ 3， 0）与 y 轴交于 B、 C 两点，连 （ 1）求证： （ 2）求 长； （ 3）如图 2，过 A、 B 两点作 y 轴的正半轴交于 M，与 延长线交于 N，当 大小变化时，得出下列两个结论： 值不变； N 的值不变其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明 26如图，在 ， 0， 0， D、 E 从点 C 同时出发，分别以 1cm/s 和 2cm/s 的速度沿着射线 右移动，以 一边在直线 上方作等边 接 点 D、 E 运动的时间为 t 秒 （ 1） 边长为 （用含有 t 的代数式表示），当 t= 秒时，点 F 落在 ； （ 2） t 为何值时，以点 A 为圆心， 半径的圆与 边所在的直线相切？ （ 3）设点 F 关于直线 对称点为 G，在 动过程中，是否存在某一时刻 t，使得以 A、 C、 E、 G 为顶点的四边形为梯形？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 27在半径为 4 的 O 中，点 C 是以 直径的半圆的中点， 足为 D，点 线 的任意一点， 交于点 F，设 EF=x， DF=y （ 1）如图 1，当点 E 在射线 时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数定义域； （ 2）如图 2，当点 F 在 O 上时，求线段 长； （ 3）如果以点 E 为圆心、 半径的圆与 O 相切，求线段 长 28如图 1，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心的 O 的半径为 1，直线 l：y= x 与坐标轴分别交于 A、 C 两点，点 B 的坐标为（ 4， 1）， B 与 x 轴相切于点 M （ 1）求点 A 的坐标及 度数； （ 2） B 以每秒 1 个单位长度的速度沿想 x 轴负方向平移，同时，直线 l 绕点 A 以每秒钟旋转 30的速度顺时针匀速旋转，当 B 第一次与 O 相切时，请判断直线 l 与 B 的位置关系，并说明理由： （ 3）如图 2，过 A、 O、 C 三点作 E 是 任意一点，连接 若点 E 在劣弧 ，试说明： 若点 E 在优弧 ， 的结论中 关系式是否仍然成立？若成立，请你说明理由？若不成立，请你直接写出正确的结论 29在 ， A=90， C=4， O 是 上的点且 O 与 相切，切点分别为 D、 E （ 1）求 O 的半径； （ 2）如果 F 为 上的一个动点（不与 D、 E），过点 F 作 O 的切线分别与边 交于 G、 H，连接 两个结论： 四边形 周长不变， 度数不变已知这两个结论只有一个正确，找出正确的结论并证明； （ 3）探究：在（ 2）的条件下，设 BG=x， CH=y，试问 y 与 x 之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定自变量 x 的取值范围，并说明当 x=y 时 F 点的位置 参考答案与解析 1（ 2016大连）如图， O 的直径，点 C、 D 在 O 上， A=2 E 在 1）求证： O 相切； （ 2）若 ， ，求 O 的半径 【分析】 （ 1）连接 O 的直径，得到 0，求得 A+ 0，等量代换得到 A，推出 0，即可得到结论； （ 2）连接 D 作 H，由弦且角定理得到 出 是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到 H= ，则 ，根据勾股定理得到 =3，然后根据勾股定理列方程即可得到结论 【解答】 （ 1）证明：连接 O 的直径， 0， A+ 0， A=2 A， 0， 0， 即 O 相切； （ 2）解：连接 D 作 H， O 相切， 是等腰三角形， H= ，则 ， =3， 在 ， 即（ 1） 2+32= ， O 的半径是 5 【点评】 本题考查 了切线的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键 2（ 2016锦州）如图，已知 0， D 为 中点，过点 C 的垂线，垂足为点 F，过点 A、 C、 D 作 O 交 点 E，连接 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 长 【分析】 （ 1）连接 延长交 M，证出 ，由 垂径定理得出 出已知得出 可得出 O 的切线； （ 2）由（ 1）得出 F= N，连接 垂径定理得出 N= M=F= O 的半径为 r，在 ，由勾股定理求出半径，得出 N=， ，求出 4=由勾股定理求出 【解答】 （ 1）证明：连接 延长交 M，如图 1 所示： 0， D 为 中点， D， ， O 的切线； （ 2）解：由（ 1）得： 点 D 为 中点， F= 作 N，连接 图 2 所示： 则 N= M=F= 设 O 的半径为 r， 在 ，由勾股定理得： r） 2= 解得 ： r= N=， ， 4= = = 【点评】 本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，垂径定理等知识；熟练掌握切线的判定，由勾股定理求出半径是解决问题（ 2）的关键 3（ 2016兰州）如图， O 的内接三角形， O 的直径， 点 O，分别交 点 E、 D，且 C （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 O 的半径为 5， ，求 长 【分析】 （ 1）连接 证明 O 的切线，只要证明 0 （ 2）作 H，由 = 求出 根据 A=到 = ，求出 可 【解答】 证明：连接 C， A= A+ 0， C， 0， 0， O 切线 （ 2）作 H，则 A， C， C= O 的半径为 5， ， 0， ， = ， = ， C ， ， A， A= = ， = = ， 【点评】 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型 4（ 2016宿迁）如图 1，在 ，点 D 在边 ， ： 2：3， O 是 外接圆 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）当 O 的直径时（如图 2），求 度数 【分析】 （ 1）连接 长 O 于点 E，则 O 的直径，连接 已知条件得出 圆周角定理得出 0，证出 出 可得出结论； （ 2）由圆周角定理得出 0，由角的关系和已知条件得出 由（ 1）知： 可得出结果 【解答】 （ 1）证明：连接 长 O 于点 E，则 O 的直径，连接 图所示： ： 2： 3， O 的直径， 0， 0 0 即 0， O 的切线； （ 2）解： O 的直径， 0， 0， ： 2： 3， 4 0， 由（ 1）知： 【点评 】 本题考查了切线的判定、圆周角定理、角的互余关系；熟练掌握切线的判定方法，由圆周角定理得出直角是解决问题的关键 5（ 2016菏泽）如图，直角 接于 O，点 D 是直角 边 的一点，过点 D 作 垂线交 E，过点 C 作 延长线于点 P，连结 O 于点 F （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 长 【分析】 （ 1）连接 证明 O 的切线，只要证明 可 （ 2）延长 圆于 G 点，由切割线定理求出 可解决问题 【解答】 解：（ 1）如图，连接 0， 又 0， O 切线 （ 2）延长 圆于 G 点， ， ， ， 1=8， G=8 【点评】 本题考查切线的判定、切割线 定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 6（ 2016荆州）如图， A、 F、 B、 C 是半圆 O 上的四个点，四边形 平行四边形， 5，连接 点 E，过点 C 作 平行线交 延长线于点 D，延长直线 点 H （ 1）求证： 半圆 O 的切线； （ 2）若 3 ，求 半径 长 【分析】 （ 1）连接 据已知条件得到 等边三角形，得到 0，根据圆周角定理得到 0，根据平行线的性质得到 切线的判定定理即可得到结论； （ 2）根据平行线的性质得到 0，解直角三角形得到 出 据相似三角形的性质得到 ，求得 ，根据直角三角形的性质即可得到结论 【解答】 解：（ 1）连接 B= 四边形 平行四边形， C， 等边三角形， 0， 5， 0， 0， 半圆 O 的切线； （ 2） 0， ， 3 ， ， A， A（ 2 ）， 0， = = ， 解得： 【点评】 本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接 造等边三角形是解题的关键 7（ 2016本溪）如图， ， C，点 E 是线段 长线上一点， 足为 D， 线段 点 F，点 O 在线段 ， O 经过 C、 E 两点，交 点 G （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 E=30， ， ，求 O 的半径 【分析】 （ 1）根据等腰三角形的性质得到 B= E，推出 0，根据切线的判定定理即可得到结论； （ 2）根据已知条件得到 0，解直角三角形得到 = ， ，即可得到结论 【解答】 （ 1）证明： C， B= E， E， 0， B+ E=90， 0， 0， O 的切线； （ 2）解： E=30， 0， 20， 0， 0， = ， ， ， ， ， 即 O 的半径 = 【点评】 本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，等 腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键 8（ 2016茂名）如图，在 ， C=90， D、 F 是 上的两点，以 直径的 O 与 交于点 E，连接 F 作 点 G，其中 A （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， O 的半径为 r，求 面积（用含 r 的代数式表示） 【 分析】 （ 1）首先连接 在 ， C=90， 得 由 A，易得 分 而证得 得 可得 （ 2）由在 ， ， O 的半径为 r，可求得 长，然后由在 ，求得 长，则可求得 长，易证得 后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案 【解 答】 （ 1）证明：连接 在 ， C=90， C=90， A， F， O 的切线； （ 2）解： 在 ， ， O 的半径为 r， r， r， B+r， Fr， = r， G r， S G= ： 2， 切线， =（ ） 2= ， S S 【点评】 此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识注意准确作出辅助线是解此题的关键 9（ 2016宜宾）如图 1，在 ， 0， 角平分线，以 O 为圆心， 半径作圆交 点 G （ 1）求证：直线 O 的切线； （ 2）在图 2 中，设 O 相切于点 H，连结 D 是 O 的劣弧 上一点，过点D 作 O 的切线，交 点 B，交 点 C，已知 周长 为 4， ，求长 【分析】 （ 1）作 角平分线，得到 断出 到 A，用 “圆心到直线的距离等于半径 ”来得出直线 O 的切线； （ 2）先利用切线的性质和 周长为 4 求出 ，再用三角函数求出 后用三角形相似，得到 勾股定理求出 后用切割线定理即可 【解答】 证明：（ 1）如图 1， 作 0， 0， 角平分线， 在 ， A， O 的半径， O 的半径， 直线 O 的切线 （ 2）如图 2，连接 O 的切线， A， H， 周长为 4， C+， C+C=4， B+H=4， H=4， O 的切线， H， ， 由（ 1）得， 0， 0， 0， 0， ， = ， ， ， 0， = ， = = = ， G+ G=4 ， O 的切线， O 的割线， G G （ G） = （ +2） = ， 【点评】 此题是切线的性质和判定题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角函数，解本题的关键是用三角函数求出 10（ 2016西宁）如图， D 为 O 上一点，点 C 在直径 延长线上，且 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）过点 B 作 O 的切线交 延长线于点 E， ， 求 长 【分析】 （ 1）连 据圆周角定理得到 0，而 是 0； （ 2）根据已知条件得到 相似三角形的性质得到 ，求得 ，由切线的性质得到 E， 据勾股定理列方程即可得到结论 【解答】 （ 1）证明：连结 D， 又 O 的直径， 0， 0， 0， 即 0， O 半径， O 的切线 （ 2）解： C= C， ， ， ， O 的切线 E， 即 2=（ 4+2 解得： 【点评】 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质 11（ 2016凉山州）阅读下列材料并回答问题： 材料 1：如果一个三角形的三边长分别为 a， b， c，记 ，那么三角形的面积为 古希腊几何学家海伦（ 公元 50 年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名他在度量一书中，给出了公式 和它的证明，这一公式称海伦公式 我国南宋数学家秦九韶（约 1202约 1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： 下面我们对公式 进行变形：= = = 这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称 为海伦秦九韶公式 问题：如图，在 ， 3， 2， ， O 内切于 点分别是 D、E、 F （ 1）求 面积； （ 2）求 O 的半径 【分析 】 （ 1）由已知 三边 a=3， b=12， c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦秦九韶公式求解即可； （ 2）由三角形的面积 = 算即可 【解答】 解：（ 1） 3， 2， ， p= =16， = =24 ； （ 2） 周长 l=C+2， S= 4 ， r= = 【点评】 此题考查了三角形面积的求解方法此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键 12（ 2016桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在 他的著作度量论一书中给出了计算公式海伦公式 S= （其中 a， b， c 是三角形的三边长， p= ， 并给出了证明 例如：在 ， a=3， b=4， c=5，那么它的面积可以这样计算： a=3， b=4， c=5 p= =6 S= = =6 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决 如图，在 ， ， ， （ 1）用海伦公式求 面积； （ 2）求 内切圆半径 r 【分析】 （ 1）先根据 长求出 P，再代入到公式 S=即可求得 S 的值； （ 2）根据公式 S= r（ C+代入可得关于 r 的方程，解方程得 r 的值 【解答】 解：（ 1） ， ， ， p= = =10， S= = =10 ； 故 面积 10 ； （ 2） S= r（ C+ 10 = r（ 5+6+9）， 解得： r= ， 故 内切圆半径 r= 【点评】 本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键 13已知： O 的直径， P 为 长线上的任意一点，过点 P 作 O 的切线，切点为 C， 平分线 于点 D （ 1）如图 1，若 好等于 30，求 度数； （ 2）如图 2，若点 P 位于（ 1）中不同的位置，（ 1）的结论是否仍然成立？说明你的理由 【分析】 （ 1）连接 0，根据 0，求得 由 C，得出 A= 分 可得出 5 （ 2）由 O 的切线，得 0再根据 平分线，得 据 C，可得出 A= A，在 ， 0，则 0，从而得出 A+ 5所以 大小不发生变化 【解答】 解：（ 1）连接 O 的切线， 0 0， 0 C， A= 0 分 5， A+ 5 （ 2） 大小不发生变化 O 的切线， 0 平分线， C， A= A， 在 ， 0， 0， 2（ A+ =90， A+ 5 即 大小不发生变化 【点评】 本题考查了切线的性质以及角平分线的性质、等腰三角形的性质，要注意各个知识点的衔接 14如图，已知 O 的 直径，弦 于点 E，过点 A 作 O 的切线与 线交于点 F， ， ： 5， ： 3求： （ 1） 长度； （ 2） 值 【分析】 （ 1）设 k， k， a， a，过点 O 作 足为 H，则 D，由 = 求出 ，由 D=E 求出 k、 a 关系，得 0k，得到 C，得 是等腰三角形，在 利用勾股定理即可解决问题 （ 2）根据 ，求出 可 【解答】 解：（ 1）设 k， k， a， a， 过点 O 作 足为 H，则 D， 切线， 0= = 即 = ， ， D=E， 6k5k=3a2a， 0k， 点