数学分析华师大-导数的概念PPT课件

.,1,导数是微分学的核心概念,是研究函数,1导数的概念,一、导数的概念,化率”,就离不开导数.,三、导数的几何意义,二、导函数,态的有力工具.无论何种学科,只要涉及“变,与自变量关系的产物,又是深刻研究函数性,返回,.,2,一、导数的概念,一般认为,求变速运动的瞬时速度，求已知曲线,别在研究瞬时速度和曲线的,牛顿(16421727,英国),两个关于导数的经典例子.,切线时发现导数的.下面是,微分学产生的三个源头.牛顿和莱布尼茨就是分,上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是,.,3,1.瞬时速度设一质点作直线运动,质点的位置s是,当t越来越接近t0时，平均速度就越来越接近t0,时间t的函数,即其运动规律是则在某,(1),时刻的瞬时速度.严格地说,当极限,时刻t0及邻近时刻t之间的平均速度是,.,4,2.切线的斜率如图所示,存在时,这个极限就是质点在t0时刻的瞬时速度.,其上一点P(x0,y0)处的切线,点击上图动画演示,点Q,作曲线的割线PQ，这,PT.为此我们在P的邻近取一,需要寻找曲线y=f(x)在,条割线的斜率为,.,5,答:它就是曲线在点P的切线PT的斜率.,的极限若存在，则这个极限,会是什么呢？,设想一下,当动点Q沿此曲线无限接近点P时，,(2),.,6,上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同,x0处关于x的瞬时变化率(或简称变化率).,均变化率，增量比的极限(如果存在)称为f在点,的极限.这个增量比称为函数f关于自变量的平,Dy=f(x)f(x0)与自变量增量Dx=xxo之比,一类型的数学问题：求函数f在点x0处的增量,.,7,定义1设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定,义，如果极限,存在,则称函数f在点x0可导,该极限称为f在,如果令Dx=xx0,Dy=f(x0+Dx)f(x0),导数就,x0的导数，记作,可以写成,.,8,二、导数的定义,定义1.设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,机动目录上页下页返回结束,.,9,这说明导数是函数增量Dy与自变量增量Dx之比,的极限,即就是f(x)关于x在x0处的变化,点x0不可导.,率.如果(3)或(4)式的极限不存在,则称在,.,10,在点,的某个右邻域内,五、单侧导数,若极限,则称此极限值为,在处的右导数,记作,即,(左),(左),定义2.设函数,有定义,存在,机动目录上页下页返回结束,.,11,定理2.函数,在点,且,存在,简写为,可导的充分必要条件,是,机动目录上页下页返回结束,例3证明函数f(x)=|x|在x=0处不可导.,证因为,处不可导.,.,12,例4证明函数,在x=0处不可导.,不存在极限,所以f在x=0处不可导.,证因为当时,.,13,.,14,四、函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点x处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点x连续.,注意:函数在点x连续未必可导.,反例:,在x=0处连续,但不可导.,即,机动目录上页下页返回结束,.,15,定理5.1如果函数f在点x0可导,则f在点x0,连续.,值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可,其中D(x)是熟知的狄利克雷函数.,例5证明函数仅在x=0处可导,处连续，却不可导.,导的必要条件.如例3、例4中的函数均在x=0,.,16,不连续,由定理5.1,f(x)在点x0不可导.,由于导数是一种极限,因此如同左、右极限那样,证当时,用归结原理容易证明f(x)在点x0,可以定义左、右导数(单侧导数).,.,17,二、导函数,如果函数f在区间I上的每一点都可导(对于区间,(7),定义了一个在区间I上的函数，称为f在I上的,则称f为区间I上的可导函数.此时,对I上的任,端点考虑相应的单侧导数,如左端点考虑右导数),.,18,三、导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与x轴平行,称为驻点;,若,切线与x轴垂直.,切线方程:,法线方程:,机动目录上页下页返回结束,.,19,例1.求函数,(C为常数)的导数.,解:,即,例2.求函数,解:,机动目录上页下页返回结束,.,20,说明：,对