工程力学第七章应力状态

1,第七章,应力状态分析,2,7-1引言,由杆件的基本变形分析可知，一般情况下，不同截面存在不同的应力，同一截面上，不同的点应力也不一样，即使同一点，不同的方向上应力也不一样。,无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析，一个点在各个方向上的应力分布就是点的应力状态。,3,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。,应力,指明,一点应力状态的描述,微元法（Element）,单元体特征,4,(Three-DimensionalStateofStresses),三向（空间）应力状态,(PlaneStateofStresses),平面（二向）应力状态,5,单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses),纯剪应力状态(ShearingStateofStresses),三向应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,6,7,拉压,扭转,弯曲,8,研究应力状态的方法,在构件内部取微分单元体，代表一个点，分析6个微面上的应力，并且假设相互平行的微面上，应力相等。,每个微面上的应力可以分解为1个正应力和2个剪应力,9,应力状态的分类,=0的平面叫作主平面.主平面上的正应力叫作主应力,（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2）平面应力状态：若三个主应力中有两个不为零（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零,#主平面和主应力,#应力状态的分类,平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态,10,可以证明，弹性体内任意一点的主平面和主应力一定存在，并且一定是唯一存在。,主应力采用符号：,并且规定：,11,7-2平面应力状态应力分析,平面应力状态：若三个主应力中有两个不为零；即在微元体的六个侧面中，仅有四个侧面上作用有应力，且它们的作用线均平行于不受力的平面。,一.平面应力状态斜截面上的应力,1、正负号规则,12,单元体用平面图形来表示(图13-1b),平面应力状态的普遍形式如图13-1a所示。单元体上有x,x和y,y。,q角:,由x正向反时针转到x正向者为正；反之为负。,13,2、截面法:假想地沿斜截面ef将单元体截分为二(图13-1b),留下左边部分的单体元ebf作为研究对象(图13-1c)。,研究对象的受力如图13-1d所示,设斜截面的面积为dA,eb的面积为dAcos，bf的面积为dAsin,14,15,列平衡方程,16,利用三角函数公式,并注意到化简得,17,3、平面应力状态下,任一斜截面(截面)上的应力的计算公式,二、平面应力状态分析应力圆法及其应用,18,1应力圆的概念,当斜截面随方位角变化时,其上的应力,在-直角坐标系内的轨迹是一个圆,圆心位于横坐标轴(轴)上,离原点的距离为半径为此圆习惯上称为应力圆,或称为莫尔圆。,19,20,2应力圆作法,图13-3,21,22,23,该圆的圆心C点到坐标原点的距离为,半径为,该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆,D1点的坐标为(x,x)因而D1点代表单元体x平面上的应力。,24,3利用应力圆求单元体上任一截面上的应力,从应力圆的半径CD1按方位角的转向转动2,得到半径CE,圆周上E点的坐标就依次为。,25,例题7-1从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x=-1MPa,y=-0.4MPa,x=-0.2MPa,y=0.2MPa,26,解:(1)画应力圆,OB2=y=-0.4MPa和B2D2=y=0.2MPa,定出D2点.,OB1=x=-1MPa,B1D1=x=-0.2MPa,定出D1点;,以D1D2为直径绘出的圆即为应力圆。,27,将半径CD1逆时针转动2=60到半径CE,E点的坐标就代表=30斜截面上的应力。,(2)确定=30斜截面上的应力,28,(3)确定=-40斜截面上的应力,将半径CD1顺时针转2=80到半径CF,F点的坐标就代表=-40斜截面上的应力。,29,30,7-3极值应力与主应力,一.平面应力状态的极值应力,31,32,所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。,二.主应力,主应力:主平面上的正应力称为主应力,主平面:一点处剪应力等于零的平面称为主平面,说明:一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即,33,（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2）平面应力状态：若三个主应力中有两个不为零（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零,#应力状态的分类,平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态,三.纯剪切不状态的最大应力,34,当单元体处于纯剪应力状态时，主平面与纯剪面成45角，其上的主应力值为,35,例题7-2两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a所示，梁的横截面尺寸示于图b中。试绘出截面c上a,b两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。,36,解:首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图,MC=80kNm,QC左=200kN,37,横截面C上a点的应力为,38,a点的单元体如图所示。,以D1D2为直径作应力圆。,39,A1，A2两点的横坐标分别代表a点的两个主应力1和3。,40,A1点对应于单圆体上1所在的主平面,主平面及主应力如图所示。,41,b点的单元体如图所示。,42,43,a,解析法求a点的主平面和主应力,0=,44,7-4复杂应力状态的最大应力,受力物体内某一点处三个主应力1、2、3均为已知(图13-11a),利用应力圆确定该点的最大正应力和最大剪应力,。,一、三向应力圆,45,首先研究与其中一个主平面(例如主应力3所在的平面)垂直的斜截面上的应力。,46,用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象。,47,与3垂直的斜截面上的应力可由1,2作出的应力圆上的点来表示。,主应力3所在的两平面上是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力,与3无关,只由主应力1,2决定。,48,与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由1,3作出的应力圆上的点来表示。,49,与主应力所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由2,3作出的应力圆上的点来表示。,50,该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内。,abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面,51,结论,三个应力圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。,52,二、最大应力,该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标1,53,最大剪应力则等于最大的应力圆上B点的纵坐标,A,最大剪应力所在的截面与2所在平面垂直,并与1与3所在的主平面各成45角。,54,上述两公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态,只需将具体问题的主应力求出,并按代数值123的顺序排列。,空间应力圆画法,55,例题7-3单元体的应力如图a所示,作应力圆,并求出主应力和最大剪应力值及其作用面方位。,56,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.,解:该单元体有一个已知主应力,57,46MP,-26MP,量得另外两个主应力为,58,该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为,59,根据上述主应力，作出三个应力圆。,60,从应力圆上量得,据此可确定1所在的主平面方位和主单元体各面间的相互位置.,61,其中最大剪应力所在截面与2垂直,与1和3所在的主平面各成45夹角。,62,例题7-4已知某结构物中一点处为平面应力状态,x=-180MPa,y=-90MPa,x=y=0,试求此点处的最大剪应力。,