等差数列前N项和.ppt

等差数列前n项和公式,河南省杨庄高中赵麒,数学课堂,复习回顾,问题呈现,例题讲解,小结与作业,复习回顾,(1)等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+(n-1)d已知第m项am和公差d,则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质:在等差数列an中,如果m+n=p+q(m,n,p,qN),那么:an+am=ap+aq,返回,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,下一页,问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）,这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，n，的前100项的和。,假设1+2+3+100=x,(1),那么100+99+98+1=x.(2),由(1)+(2)得101+101+101+101=2x,100个101,高斯,下一页,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？,下一页,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。,下一页,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,获得算法：,下一页,问题2:,求:1+2+3+4+n=?,记:S=1+2+3+(n-2)+(n-1)+n,S=n+(n-1)+(n-2)+3+2+1,下一页,设等差数列a1,a2,a3,它的前n项和是Sn=a1+a2+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1(2)由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即Sn=n(a1+an)/2,下面将对等差数列的前n项和公式进行推导,下一页,即前n项的和与首项末项及项数有关,若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？,因为an=a1+（n-1）d所以Sn=na1+n(n-1)d/2,下一页,下一页,由此得到等差数列的an前n项和的公式,即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。,上面的公式又可以写成,解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。,正所谓：知三求二,下一页,【说明】,推导等差数列的前n项和公式的方法叫；,an为等差数列，这是一个关于的没有的“”,倒序相加法,Sn=an2+bn,n,常数项,二次函数,（注意a还可以是0）,等差数列前n项和公式补充知识,下一页,例1根据下列各题中的条件,求相应的等差数列的前n项和,下一页,例2等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？,本题实质是反用公式，解一个关于n的一元二次函数，注意得到的项数n必须是正整数.,下一页,例3今有女不善织，日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫，问织几何？（公元五世纪，张邱建算经，第23题）,返回,分析：转化为“已知等差数列，求.,1.推导等差数列前n项和公式的方法,小结：,2.公式的应用中的数