《置信区间》PPT课件

解(1)样本的似然函数为,当00,X1,X2,Xn是取自总体X的一组样本,求的极大似然估计量与矩估计量.,其中0为未知参数,例设总体X的密度为,故有对数似然函数：,对求导并令其为0可得似然方程：,=0,解得极大似然估计量：,令,(2),解得矩估计量：,而区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.,无偏性有效性一致性,估计量的期望值等于未知参数的真值.,为了使估计的结论更可信,需要引入区间估计.,评选标准,方差更小的无偏估计量.,样本k阶原点矩是总体k阶原点矩的无偏估计量;,样本方差S2是总体方差2的无偏估计量;,无偏估计量的函数未必是无偏估计量,在的所有线性无偏估计量中,样本均值X是最有效的.,参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数.使用起来把握不大.,点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似值的误差范围.,若我们根据一个实际样本得到鱼数N的极大似然估计为1000条.,一个可以想到的估计办法是：若我们能给出一个区间,并告诉人们该区间包含未知参数N的可靠度(也称置信系数).,但实际上,N的真值可能大于1000条,也可能小于1000条.,7.3单个正态总体均值与方差的置信区间,也就是说,给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区间包含参数。,湖中鱼数的真值,这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的,称为置信概率，置信度或置信水平.,习惯上把置信水平记作1-,这里是一个很小的正数.,譬如，在估计湖中鱼数的问题中,根据置信水平1-,可以找到一个正数,例如,通常可取置信水平=0.95或0.9等等.,根据一个实际样本,由给定的置信水平1-,我们求出一个的区间,使,置信水平的大小是根据实际需要选定的.,如何寻找这种区间？,使得,我们选取未知参数的某个估计量,只要知道的概率分布就可以确定.,下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法.,由不等式,可以解出：,这个不等式就是我们所求的置信区间,代入样本值所得的普通区间称为置信区间的实现.,1）为两个统计量（由样本完全确定的已知函数）；,X1,X2,Xn是取自总体X的样本,对给定值01,满足,定义4设是总体X的待估参数,分别称为置信下限和置信上限.,一、置信区间的概念,则称随机区间,为的置信水平为1-的双侧置信区间.,若统计量,和,置信度置信概率,2）是随机区间,并非一个实现以1-的概率覆盖了,要求置信区间的长度尽可能短.,估计的可靠度：,即P()=1-要尽可能大.,可靠度与精度是一对矛盾,一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.,估计的精度：,即要求区间置信的长度尽可能短,或能体现该要求的其它准则.,要求以很大的可能被包含在置信区间内.,要求估计尽量可靠.,置信水平的概率意义：置信水平为0.95是指100组样本值所得置信区间的实现中,约有95个能覆盖,而不是一个实现以0.95的概率覆盖了.,估计要尽量可靠,估计的精度要尽可能的高：,只要知道的概率分布就可以确定.,如何根据实际样本,由给定的置信水平1-,求出一个区间,使,根据置信水平1-,可以找到一个正数,二、置信区间的求法,(一)单个正态总体,1.均值,(1)已知方差2,1.均值1-2,(1)已知方差12,22,(二)两个正态总体,2.方差2,(2)未知方差2,使得,我们选取未知参数的某个估计量,由不等式,可以解出：,这个不等式就是我们所求的置信区间,分布的分位数,(1)已知均值,(2)未知均值,(2)未知方差12,22,2.方差12/22,(1)已知均值1,2,(2)未知均值1,2,但相等!,对于给定的置信水平,根据估计量U的分布,确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.,X,S2分别是其样本均值和样本方差,XN(,2/n),求参数、2的置信水平为1-的置信区间.,设X1,Xn是总体XN(,2)的样本,确定未知参数的估计量及其函数的分布,是的无偏估计量,由分布求分位数,即得置信区间,(一)单个正态总体置信区间的求法,(1)已知方差2时,故可用X作为EX的一个估计量,N(0,1),对给定的置信度1-,按标准正态分布的双侧分位数的定义,查正态分布表可得u/2,由u/2确定置信区间,有了分布就可求出U取值于任意区间的概率,简记为,由抽样分布定理知,1.均值的置信区间,是求什么参数的置信区间?,置信水平1-是多少?,1.寻找未知参数的一个良好的点估计量(X1,X2,Xn);,确定待估参数估计量函数U()的分布;,求置信区间首先要明确问题：,2.对于给定的置信水平1-,由概率,(,)就是的100(1-)的置信区间.,一般步骤如下:,3.由分位数|U|x确定置信区间(,).,查表求出分布的分位数x,总体分布的形式是否已知,是怎样的类型,至关重要.,某乡农民在联产承包责任制前人均纯收入X(单位:元),求的置信水平为0.95的置信区间.,推行联产承包责任制后,在该乡抽得n=16的样本,且XN(,252).,解由于=0.05,查正态分布表得,例1,得x=325元,假设2=252没有变化,即得置信区间(312.75,337.25).,同一置信水平下的置信区间不唯一,如在上例中取=0.01+0.04,由正态分布上侧分位数定义知,查表知,u0.025=1.96,当然区间长度越短的估计,精度就越高.,其长度也不相等.,区间长度为24.25,长度为25.5,谁是精度最高的？,由于标准正态分布密度函数的图形是单峰且对称的,在保持面积不变的条件下,以对称区间的长度为最短!,但的长度是最短的,l与n,的关系：,可知,置信区间的长度l为:,由置信区间公式,l随着的减小而增大;,20若给定,l随着n的增大而减小;,同一置信水平下的置信区间不唯一.,其长度也不相等.,故我们总取它作为置信水平为1-的置信区间.,若给定n,且由于l与成反比,减小的速度并不快,例如,n由100增至400时,l才能减小一半.,则u/2越大,l就越大,这时就越小.,10,(u/2)就越大,一般地,在概率密度为单峰且对称的情形下,a=-b对应的置信区间的长度为最短.,例2:某厂生产的零件长度X服从N(,0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如下(单位:毫米):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求:的置信系数为0.95的区间估计。,解：n=6，=0.05，z/2=z0.025=1.96，2=0.22.,所求置信区间为,故不能采用已知方差的均值估计方法,由于与有关,但其解决的思路一致.,由于S2是2的无偏估计量,查t分布表确定上侧/2分位数,令,T=,(2)未知方差,用分布的分位数求的置信区间.,故可用S替代的估计量:,S,t(n-1),即为的置信度为1-的区间估计.,2时,由抽样分布定理知,实用价值更大!,t/2(n-1),测定总体服从正态分布,求总体均值的置信水平为0.95的置信区间.,解由于/2=0.025,查t分布表得,例3为确定某种溶液中甲醛浓度,且其4个独立测量值的平均值x=8.34%,样本标准差s=0.03%,即得置信区间,自由度n-1=3,t0.025=3.182,将x=8.34%代入得,(2)未知时,所以2的置信水平为1-的区间估计为,因为2的无偏估计为S2,2.方差2的,置信区间的求法,由抽样分布定理知,2=,由确定2分布的上侧/2分位数,找一个含与S,但不含,且分布已知的统计量,为了计算简单,在概率密度不对称的情形下,如2分布,F分布,习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.,并不是最短的置信区间,/2,/2,测定总体服从正态分布,求总体均值的置信水平为0.95的置信区间.,解由于/2=0.025,查2分布表得,例4为确定某种溶液中甲醛浓度,且其4个独立测量值的平均值x=8.34%,样本标准差s=0.03%,故2的置信区间为,自由度n-1=3,得,将s2=0.0009代入,求总体方差2和标准差的置信水平为0.95的置信区间.,故的置信区间为,在实际应用中，经常会遇到两个正态总体的区间估计问题。,于是，评价新技术的效果问题，就归结为研究两个正态总体均值之差1-2的问题。,例如：考察一项新技术对提高产品的某项质量指标的作用，将实施新技术前的产品质量指标看成正态总体N(1,12)，实施新技术后产品质量指标看成正态总体N(2,22)。,设X1,Xm分别是总体XN(1,12)的样本,Y1,Yn分别是总体YN(2,22)的样本,X,Y分别是总体X和Y的样本均值,求参数1-2和12/22的置信水平为1-的置信区间.,由于X,Y分别是1,2的无偏估计量,即得置信区间,(二)两个正态总体,(1)已知方差12,22时,故可用X-Y作为1-2的一个估计量,N(0,1),对给定的置信度1-,查正态分布表可得u/2,由抽样分布定理知,1.均值1-2的置信区间,SX2,SY2分别是总体X和Y的样本方差,置信区间的求法,设X1,Xm分别是总体XN(1,12)的样本,Y1,Yn分别是总体YN(2,22)的样本,X,Y分别是总体X和Y的样本均值,求参数1-2和12/22的置信水平为1-的置信区间.,即得置信区间,(二)两个正态总体置信区间的求法,(2)未知方差12,22,但12=22=2时,仍用X-Y作为1-2的一个估计量,t(n+m-2),对给定的置信度1-,查t分布表可得,由抽样分布定理知,1.均值差1-2的置信区间,SX2,SY2分别是总体X和Y的样本方差,t/2(n+m-2),例5：某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉水。设这两条流水线所装矿泉水的体积(单位:毫升)XN(1,2)和YN(2,2)。现从生产线上分别抽取X1,X2,X12和Y1,Y2,Y17，样本均值与样本方差分别为:,求1-2的置信系数为0.95的区间估计。,解：m=12,n=17,=0.05，且,查t分布表，得tm+n-2(/2)=t27(0.025)=2.05.因此，置信度为1-的置信区间：,例6(比较棉花品种的优劣)：假设用甲、乙两种棉花纺出的棉纱强度分别为XN(1,2.182)和YN(2,1.762)。试验者从这两种棉纱中分别抽取样本X1,X2,X200和Y1,Y2,Y100，样本均值分别为:,求1-2的置信系数为0.95的区间估计。,解:1=2.18,2=1.76,m=200,n=100,=0.05,1-2的置信系数为1-的置信区间为:,设同上,求参数12/22的置信水平为1-的置信区间.,即得12/22的置信区间,(二)两个正态总体置信区间的求法,(2)未知1,2时,F(m-1,n-1),对给定的置信度1-,查F分布表可得上侧分位数,由抽样分布定理知,2.方差比12/22的置信区间,F/2(m-1,n-1),F1-/2(m-1,n-1),求两总体方差比12/22的置信水平为0.90的置信区间.,称重后所的样本方差分别为sx2=0.0125,sy2=0.01,假定所装番茄酱的重量X与Y分别服从正态分布N(1,12)和N(2,22),解由于/2=0.05,查F分布表得,例7某厂用两条流水线生产番茄酱小包装,现从两条流水线上各随机抽取样本容量分别为m=6,n=7的样本,将条件代入得12/22的置信区间为(0.2847,6.1875).,自由度m-1=5,n-1=6,主要根据抽样分布Th,(二)两个总体,由的概率分布和置信水平1-,确定其相应的分位数x/2;,小结正态总体置信区间的求法,(一)单个总体,均值,已知方差2,均值差1-2,已知方差12,22,方差2,未知方差2,解得所求的置信区间,根据未知参数的无偏估计量,确定其某个估计量;,由不等式,已知均值,未知均值,未知方差12,22,方差比12/22,已知均值1,2,未知均值1,2,但相等!,X1,Xn是取自X的样本,则称随机区间(-,)为的置信水平为1-的单侧置信区间,但有些实际问题,人们关心的只是参数在一个方向的界限.,这时,可将置信上限取为+,而只着眼于置信下限,上述置信区间中置信限都是双侧的,例如对于设备、元件的使用寿命来说,平均寿命过长没什么问题,过短就有问题了.,三、单侧置信区间,定义,满足,这样求得的置信区间叫单侧置信区间.,对给定值01,满足,设是总体X的待估参数,称为单侧置信下限;,则称随机区间(,+)为的置信水平为1-的单侧置信区间,称为单侧置信上限.,若统计量,若统计量,求单侧置信