高中数学解三角形知识点汇总及典型例题

- WORD格式-可编辑-解三角形的基本知识、典型例子和详细解答一、所需知识：1.直角三角形中元素之间的关系：在 ABC中，c=90，ab=c，ac=b，bc=a。(1)三方关系：A2 B2=C2。(毕达哥拉斯定理)(2)锐角之间的关系：a b=90(3)角点之间的关系：(锐角三角函数的定义)正弦A=余弦B=a，余弦A=正弦B=b，正切A=a .ccb2.斜三角形中元素之间的关系：在 ABC中，A、B和C是内角，A、B和C分别代表A、B和C的对边。(1)三角形内角之和：a b c=。(2)正弦定理：在三角形中，每条边与其对角线正弦的比值是相等的字母表2R (R是外接圆的半径)sin Asin Bsin C(3)余弦定理：三角形两边的平方等于另外两边的平方之和减去两边和它们之间夹角的余弦乘积的两倍2=2+c2-2 cos；2=2+2- 2大约cos2=2+ 2- 2 cos .a b不列颠哥伦比亚省AbcaBc a bab C3.三角形面积公式：-(1)(2)s=1 ha=1 bhb=1 hc(ha、hb、HC分别代表a、b、c上的高度)；222s=1 absin C=1 bcsin A=1 acsin B；2224.求解三角形：它由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(至少一个是边)组成寻找其他未知元素的问题叫做解三角形。广义地说，这里提到的元素还可以包括三角形的高度、中线和角度分裂和内切圆半径，外接圆半径，面积等。主要类型：(1)两种正弦定理解决三角形问题：首先，两个角和任何一边都是已知的，寻找另外两个边和一个角。第二，知道两个角和一边的对角线，找到其他的角。(2)求解三角形问题的两种余弦定理：首先，已知三条边找出三角形。第二，知道两边和它们之间的角度，找到第三边和另外两个角。5.三角形中的三角形变换除了应用上述公式和变换方法外，三角形的三角变换还应注意三角形本身的特点。(1)角度变换因为在 ABC中，交流=，正弦(交流)=正弦；cos(甲乙)=-CoSC；tan(A B)=- tanC .原罪甲乙因为，因为B罪丙；2222(2)当判断三角形的形状时，正弦和余弦定理可以用来把角变换成边或角的形式。6.解决三角形应用问题的一般步骤：(1)分析：分析问题的含义，找出什么是已知的，什么是期望的；(2)建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知和期望，并画出示意图；(3)求解：正确应用正弦和余弦定理求解；(4)检查：检查上述要求是否符合实际意义。二、典型实例分析问题类型1:正弦和余弦定理例1。(1)在美国广播公司，被称为A 32.00B 81.80，42.9厘米，三角形解决方案；(2)在美国广播公司，被称为20厘米，b 28厘米，A400，解三角形(角度精确到10，边长精确到1cm).解决方法：(1)根据三角形内角和定理，C 18001800年(32.00 81.80)66.20；阿辛乙42.9sin81.80根据正弦定理，b罪甲sin32.0080.1(厘米)；根据正弦定理，casinC42.9sin66.2 074.1(厘米)。罪甲sin32.0 0(2)根据正弦定理，罪乙罪乙28sin4000.8999。a20因为00B 1800所以b640，或b1160.(1)当B 640当时，C1800(一B) 1800(400 640 ) 760,2c阿辛C20sin76030(厘米)。罪甲sin40 0(2)当b11时60分，C1800(一b)0(4001160)0asinC20sin24018024，csin40013(厘米)。罪甲注释：当应用正弦定理(1)当已知两边和一边的对角线解三角形时，应注意可能有两个解的情况；(2)计算器可以用来解决三角形中的复杂运算。问题2:三角形面积示例2在美国广播公司，唱歌是因为2、空调2，AB3.找出棕褐色值的总和。美国广播公司的区域。2解决方案1:首先解决三角方程，并找到角度。a的值。罪甲因为2个cos(A45)2，12因为(A45)。2另一个0180度，A4560，A105.谭阿tan(4560)1323，13新浪网sin105sin(4560)sin45 cos60cos45 sin6026 .4美国广播公司1个交流电罪甲12326 3(26).2244解决方案2:罪甲因为计算它的对偶关系罪甲成本的价值罪甲因为22(罪一cos A) 2122英寸Acos A120A180，罪甲0，因为A0.另一个解决方案(罪恶2A1)23(罪一cos A)212sin A因为A3,2罪甲因为62(1) (2)罪甲26 .4(1)-2) cosA26 .4罪甲26423 .因此，谭阿426cosA省略了以下解决方案。备注：本项目主要考查三角形常数变形、三角形面积公式等基础知识。它侧重于操作能力的数学考试。是的一个三角形的基本试题。与两种解决方案相比，你认为哪一种更简单？问题3:三角形中的三角形等价变换例3。在 ABC中，A、B和C分别是 A、 B和 C的相对边长。众所周知，A，B和C形成几何级数，而A2-乙罪乙C2=空调-空调，找到的大小和的值。c分析：因为给出的是a、b和c之间的等价关系需要。我们需要找到 A和三条边之间的关系，所以我们可以用余弦定理。b2=a，这可以通过正弦定理找到basinb的价值。从b2=交流可变形到cc解答1: A、B和C是几何级数，8756；B2=空调。A2-C2=交流电-直流电，8756；B2C2-A2=BC。在 ABC中，通过余弦定理：b 2c 2a 2公元前1cos A=2bc=，2bc2 A=60 .在根据正弦定理原罪，b2=,字母表B交流电a A=60，乙罪乙b 2 sin 603交流电=sin60=.c2解决方案2:在作业成本中，4根据面积公式，1 bcsin A=1 acsin B。22b2=ac，A=60, bcsin A=b2sin B .罪=3。cA2备注：在解三角形时，余弦定理常用于寻找三条边和一个角之间的关系，正弦定理常用于寻找两条边和两个角之间的关系。问题4:正弦和余弦定理决定三角形的形状例4。在 ABC中，如果2cosbsina=sinc，则 ABC必须具有形状()A.等腰直角三角形b .直角三角形C.等腰三角形答：c分辨率：2 Sina cosb=sinc=sin(a b)=Sina cosbcos sinb辛(A-B)=0, A=B另一个解决方案：角质化边缘备注：本主题研究三角形的基本性质。通过观察、分析和判断，需要清晰的思维和变形方向解决问题的平稳方式问题5:三角评估例5。美国广播公司的三个内部角度是找出A值是多少，因为A2cos B C获得最大值并计算2给出这个最大值。碳A不列颠哥伦比亚A分析：从A B C=，得到2=2-2，所以cos 2=sin2 .不列颠哥伦比亚A2AAA1 23cosA 2cos2=cosA 2sin2=1-2英寸2 2英寸2=- 2(罪2-2)2；A1Pi？不列颠哥伦比亚3当sin 2=2，即当A=3时，cosA 2cos2最多获得2个。注释：利用三角恒等式简化三角因子，最终转化为关于一个角的三角函数形式，其结果是通过三角函数的性质得到的。问题6:正弦和余弦定理的实际应用例6。(2009辽宁论文，科学)如图所示，A、B、C、D都在垂直于水平面的同一平面上，B、D是两个岛中的两个。灯塔的顶端。测量船在水面A处测得的点B和点D的仰角分别为750。300，在水面C测量的点B和点D的仰角都是600，交流电=0.1公里.试着探究图中b和d之间的距离以及其他两点是相等的，然后找出答案5b和d之间的距离(