中值定理的证明题

。第五讲：中值定理的证明技术一、考试要求1.理解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理、有界性定理、中间值定理)并应用这些性质。2.理解并使用罗尔定理和拉格朗日中值定理(泰勒定理)，理解并使用柯西中值定理。掌握这三个定理的简单应用(经济)。3.理解定积分的中值定理。二。行动纲要1.中间值定理(根的存在定理)(1)对于闭区间上的连续函数，中间值定理必须获得最大值m和最小值m之间的任何值。(2)零点定理设f(x)在a，b中是连续的，并且f (a) f (b) 0，则至少有一个点c(a，b)，使得f(c)=02.罗尔定理如果函数满足：(1)顶部的连续性(2)可在内部推导(3)那么一定有一种情况3.拉格朗日中值定理如果函数满足：(1)顶部的连续性(2)可在内部推导一定有，所以4.柯西中值定理如果函数满足：(1)顶部的连续性(2)可在内部推导(3)至少有一件事5.泰勒公式如果一个函数在其包含的开区间内有一阶导数，它可以表示为一个子多项式和一个余数的和，即其中(介于和之间)。当需要泰勒公式时，必须明确三点：1.扩张的起点；2.扩张的顺序；3.余数形式。在余数形式中，求极限时一般使用带钢琴余数的泰勒公式，证明不等式时使用带拉格朗日余数的泰勒公式。基点和顺序应根据具体问题确定。6.积分中值定理如果f(x)在a，b上是连续的，那么至少有一个点ca，b是这样的f(x)dx=f(c)(b-a)三、典型问题和例子问题1:与连续函数有关的问题(证明或方程f(x)=0有根)方法：大多数人都满足中值定理f(x):在a，b上连续；f(a)f(b)0。思考：1)直接方法2)间接法或辅助函数法例1，设a，b连续，证明存在，使例2，设在a，b上的是连续且单调递增的，并证明了例3，连续设置a，b并证明原因的存在。例4，设上a，b连续，证明make的存在例5:让f(x)在0，1和f(x)1上连续。证明(0，1)中只有一个实根。例6。设置实数以满足关系并证明方程，包括至少一个真正的根。例7，(0234，6分)设f(x)，g(x)在a，b和g(x)0上是连续的。利用闭区间上连续函数的性质，证明了有一点问题2:验证满足中值定理例8:验证函数满足0，2上的拉格朗日中值定理，并找到满足该定理的那个(n=1，2，)方法：想法：例9，设在a，b上是可导的，并证明至少有一个制造例10，设在0，3上，连续，可在(0，3)中导出，并证明有一个条件使例11，连续设在0，2上，(0，2)有二阶导数，证明存在成立问题4，证明存在，使方法：想法：(1)利用罗尔定理1)原函数法：步骤：例12，设在a，b上，连续，可在(a，b)中导出，并证明存在例13，(0134)设f(x)在0，1上是连续的，(0，1)是内部可导的，并且证明了(0，1)中至少有一个点x，这使得例14，设f(x)在a，b上是连续的，可在(a，b)中导出，f(a)f(b)0，f(a) g(x)在a，b上是连续的，检验并验证其正确性。例15，设f(x)在0，1上是连续的，在(0，1)中是一阶可微的，并且。测试证书：制造。证书订单，然后F(0)=F(1)=0。又所以，使，即设定规则，以便那是。2)常微分方程法：适用：步骤：例16，设在a，b上，连续，可在(a，b)中导出，并证明存在例17，设f(x)在0，1上是连续的，可在(0，1)中导出，f(0)=0，f(1)=1，证明：对于任何实数，使(2)直接利用拉格朗日或柯西中值定理例18，建立在连续、导数上，验证存在性，使例19，建立在连续、导数上，验证存在性，使例20，建立在连续、导数上，验证存在性，使例21，建立在连续的、导数的内部，验证存在性，以便问题5:中值问题(或高阶导数)方法：例22，设f(x)在0，1上是二阶可导的，f(0)=f(1)=0，至少有一个测试证书，因此例23，(012，8点)被设置为具有二阶连续导数，f(0)=0(1)用拉普拉斯余数写出f(x)一阶麦克劳克林公式。(2)证明至少有一个系统例24，设f(x)在-1，1上有一个三阶连续导数，f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0，证明：在(-1，1)上有一个点x，因此例25，设f(x)在-a，a上有一个三阶连续导数，并满足，F (0)=0，证明：在-a，a中有一个点x，因此经过=，是的，根据泰勒公式，有其中介于0和x之间。因此.其中m和m是从主题推断出的-a，a(在-a，a上连续)的最大值和最小值。还有所以有，所以，即问题6，双重中位数问题方法：例26，设在a，b上，连续的，可在(a，b)中导出，证明了例27，(051，12点)已知函数在0，1上是连续的，可在(0，1)内导出，并且证明：(1)存在使(2)有两个不同的观点问题7:综合问