《自动控制原理》3-6+线性系统的稳态误差分析

03:12,第三章线性系统的时域分析法,3-6线性系统的稳态误差分析,03:12,稳定性、过渡过程性能(动态性能)和稳态性能是我们分析系统、评价系统、改善系统时所用的三类重要衡量标准。,03:12,3-6控制系统的稳态误差系统响应的稳态分量(例如tts的输出分量）反映了系统跟踪给定控制信号或希望输出信号的准确度或抑制扰动信号的恢复能力。通常用稳态误差来衡量。它与系统本身的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本书只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差，即原理性误差。给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差）扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）给定输入量变化时，要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。给定输入量不变时，需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。,原理性误差、给定稳态误差、扰动稳态误差。,03:12,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s),step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35),step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35),step(feedback(tf(1*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35),从图形中体会误差和稳态误差,理想值,03:12,输入（理想值）,K=5,K=1,K=0.3,阶跃响应,阶跃响应：稳态误差为零,斜坡响应：稳态误差为常数,t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t),误差,从图形中体会误差和稳态误差,03:12,一、稳态误差的定义和基本概念系统的误差e(t)的基本定义为输出量的希望值与实际值之差。典型系统结构如图所示，其误差定义有两种形式：（1）输出端定义法：式中：为系统输出量的希望值；C(t)为输出量的实际值。（2）输入端定义法：式中：r(t)为给定输入；b(t)为系统主反馈信号。H（s）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的），故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。,误差的定义,03:12,希望情况下偏差信号E(S)0，则系统在输入信号作用下的希望输出为：,对于扰动信号N(s)而言,希望的情况就是扰动信号引起的输出为0（R=0，E=0）,即系统的希望输出Cn(t)一点都不受扰动的影响。,“希望值”的基本概念：,希望的状态,总之：,一,03:12,从系统输出端定义的稳态误差，概念清晰，物理意义明确，也符合基本定义，但在实际系统中无法测量，因而，一般只有数学意义。而从系统输入端定义的稳态误差，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求输出量C(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规律一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望值，即。此时，上述两种定义统一为e(t)=r(t)-c(t),说明,一,03:12,对于非单位反馈系统，若设定义1的误差为E(s),定义2的误差为E(s)，则E(s)与E(s)的关系如下：可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，但两种定义下的误差之间具有确定的关系，即误差E(s)可以直接或间接地由E(s)来确定。从本质上看，它们都能反映控制系统的控制精度。在本书以后的讨论中，将采用第二种误差定义。E(t)通常也称为系统的误差响应，它反映了系统在输入信号和扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应中也包含有瞬态分量和稳态分量两个部分，如果所研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷大时，瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量。,说明,一,03:12,稳态误差的定义：对于稳定的系统，误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以表示。,基本公式,注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、稳态误差等概念,注意：两种误差定义的统一性其关键在于反馈传递函数H(s)的确定性、可靠性、准确性。,稳态误差的定义,一,03:12,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s),step(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35),C(t)=b(t),H(s)=1,注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念,单位反馈情况：,从图形和公式中体会误差和稳态误差,一,03:12,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s),step(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),2),0:.01:35),C(t),r(t)=1(t),H(s)=2,非单位反馈情况：,注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念,从图形和公式中体会误差和稳态误差,一,03:12,注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念,1.误差：或一般意义；2.误差响应：包括输入误差和干扰误差，也有具体误差响应曲线的意思；3.稳态分量：tts的全称：误差响应的稳态分量；4.瞬态分量：tts后误差响应的变化关系；6.稳态误差：7.心中一定要有开始给出的语言定义。,一,03:12,C(t)=b(t),step(feedback(tf(8*0.0,1,conv(1,1,conv(1.67,1,3,1),1),0:.01:135),从图形和公式中体会误差和稳态误差,一,03:12,输入,K=5,K=1,K=0.3,阶跃响应,阶跃响应：零稳态误差,斜坡响应：稳态误差为常数,指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t),从图形和公式中体会误差和稳态误差,一,03:12,研究稳态误差的不同问题所使用的不同结构图。,一般形式,特殊形式1,特殊形式2,特殊形式3,特殊形式4,注意：这种形式好用梅孙公式。,一,03:12,二、输入作用下的稳态误差如果不计扰动输入的影响，只求系统的给定稳态误差。此时，系统的结构图简化为。,注意分析的方法和思路,准备,03:12,由图可知由误差的定义可知式中称为给定输入作用下系统的误差传递函数。应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出计算系统的稳态误差的基本公式。,想着梅逊公式,基本公式,注意这里采用的是输入侧定义的方法。,准备,03:12,在给定输入作用下，系统的稳态误差与系统的结构、参数和输入信号的形式有关，对于一个给定的系统，当给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取决于开环传递函数描述的系统结构。分析稳态误差与系统结构的关系，关键是根据开环传递函数G(s)H(s)中串联的积分环节个数所规定的控制系统类型。设系统的开环传递函数一般形式为,准备,03:12,式中称为系统的开环放大倍数或开环增益（第二章中已经给出该公式）。开环传递函数的分类：以分母中串联的积分环节个数来定义开环传递函数的型。当时，分别称系统为0型、1型、2型系统。而G(s)H(s)中其它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差。,开环传递函数的一般形式：,准备,03:12,基本公式小结：紧紧围绕公式来研究。,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,准备,03:12,令称为稳态位置误差系数。稳态误差可表示为因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于系统的位置稳态误差。对于0型系统，,1、单位阶跃输入时的稳态误差对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,由式（5）求得系统的稳态误差为,讨论：,注意方法和思路,再用讨论法,定义式,基本公式,基本公式,开始,03:12,对于1型系统（或高于1型的系统），可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大，越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标（如5）。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1型或高于1型的系统。,说明：,03:12,R(t),-,B(s),E(s),N(s),+,C(s),step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35),step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35),step(feedback(tf(1*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35),从图形中体会误差和稳态误差,03:12,2、单位斜坡输入时的稳态误差对于单位斜坡输入，此时系统的稳态误差为令称为稳态速度误差系数。于是稳态误差可表示为因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数。,定义式,基本公式,基本公式,03:12,对于0型系统，对于1型系统，,再用讨论法,03:12,对于2型系统（或高于2型的系统），上面的计算表明，在单位斜坡输入作用下，0型系统的稳态误差为，而1型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的K值。2型或高于2型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必需，也即系统必须有足够积分环节。,说明：,03:12,输入,K=5,K=1,K=0.3,阶跃响应,阶跃响应：零稳态误差,斜坡响应：稳态误差为常数,指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t),03:12,3、单位抛物线输入时的稳态误差对于单位抛物线输入，此时系统的稳态误差为令称为稳态加速度误差系数。于是稳态误差可表示为对于0型系统，于是稳态误差可表示为,定义式,基本公式,基本公式,03:12,对于1型系统，对于2型系统，,03:12,对于3型系统（或高于3型的系统），以上计算表明，在单位抛物线输入作用下，0型和1型系统的稳态误差为，2型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对3型或高于3型的系统，其稳态误差为零。但是，此时要使系统稳定则比较困难。,说明：,03:12,t=0:.01:300;u=1/2*t.2;lsim(feedback(tf(0.001*conv(10,1,25,1),conv(1,0,conv(1,0,15,1),1),u,t)K=0.001,0.0005,0.0002,误差,03:12,t=0:.01:100;u=1/2*t.2;lsim(feedback(tf(0.14*conv(8,1,4,1),conv(1,0,conv(1,0,6,1),1),u,t)K=0.14,0.04,0.0094,误差,03:12,在各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定稳态误差如表3-1所示。,小结：,03:12,1.注意使用线性叠加原理。即给定输入信号增加多少倍，则稳态误差也增加相同的倍数；若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差就由叠加原理求出。例如，若输入信号为则系统的总稳态误差为2.稳态误差系数、和描述了系统对减小和消除稳态误差的能力，因此，它们是系统稳态特性的一种表示方法，可以理解为稳态性能指标。提高开环放大系数K或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。,说明：,可以作为基本公式。,03:12,3.由以上讨论可知，当时，系统相对的稳态误差为零，当时，系统相对的稳态误差为零；当时，系统相对的稳态误差为零。因此，当开环系统含有个串联积分环节时，称系统对给定输入r(t)是阶无差系统，而称为系统的无差度。例1设图示系统的输入信号r(t)=10+5t，试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。解由图求得系统的特征方程为,1.先判稳,03:12,由特征方程列劳斯表21+0.5K3K要使系统稳定，必须K0,1+0.5K0,3(1+0.5K)2K0解得K0，K-2，K6所以，当0rt,info=routhtf(tf(6*0.5,1,conv(1,0,conv(1,1,2,1)rt=24366060info=Allelementsinrow3arezeros;,symstr=10+t;kpva,es=ess(tf(6*0.5,1,conv(1,0,conv(1,1,2,1),r)kpva=inf,6,0es=5/6,解法2：MATLAB辅助法,03:12,t=0:.01:50;r=10+t;lsim(feedback(tf(2*0.5,1,conv(1,0,conv(1,1,2,1),1),r,t);k=6,2,0.5,0.2,0.1,0.051;,可视化,误差,03:12,三、扰动稳态误差控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下的稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。,化成便于观察的形式,R(s)=0,03:12,扰动输入可以作用在系统的不同位置，因此，即使系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零。下面根据线性系统的叠加原理，以图3-25所示系统来讨论由扰动输入所产生的稳态误差。按照前面给出的误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为而此时系统的输出为,想着梅孙公式,03:12,式中称为扰动输入作用下系统的误差传递函数。此时，系统的稳态误差为,所以,可以比照着给定输入情况的讨论对扰动输入进行同样的讨论。,N(s),E(s),+,+,C(s),B(s),03:12,例2设控制系统如图3-26所示，其中给定输入，扰动输入（和均为常数），试求系统的稳态误差。,03:12,解当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为所以给定稳态误差为,R(s),-,+,N(s),图3-26例2系统结构图,C(s),03:12,令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为所以扰动稳态误差为由上式计算可以看出，r(t)和n(t)同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节G1(s)的放大系数（即），可以减小系统的扰动稳态误差。该系统总的稳态误差为,03:12,为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们假设图3-26中给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，即,03:12,系统总的稳态误差为比较以上两次计算的结果可以看出，若要消除系统的给定稳态误差，则系统前向通道中串联的积分环节都起作用。若要消除系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前G1(s)的积分环节才起作用。因此，若要消除由给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前(即G1(s)中）。,03:12,误差分析,1误差定义,输入端定义：,E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s),输出端定义：,E(s)=R(s)-C(s),En(s)=C希-C实=Cn(s),03:12,2例题,求图示系统的稳态误差ess。,其中r(t)=t,n(t)=-1(t),解：,令n(t)=0,因为系统稳定，所以,令r(t)=0,En(s)=-Cn(s),总误差ess=essr+essn,03:12,G0H0,3系统型别,此时的k为开环增益,s表示开环有个极点在坐标原点,=0,称为0型系统,称为型系统,称为型系统,称为型系统,=1,=2,=3,03:12,对于非单位反馈系统，当H（s）为常数时，以上分析的有关结论同样适用。前面定义了相对于给定输入的无差度，同样也可以定义相对于扰动输入的无差度。当系统的中含有个串联的积分环节时称系统相对于扰动输入是阶无差系统，而称为系统相对于扰动输入的无差度。对本例中的前一种情况，系统对扰动输入的无差度为0，而后一种情况，系统对扰动的无差度是1。显然，当谈及一个系统的无差度时应指明系统对哪一种输入作用而言，否则，可能会得出错误的结论。,03:12,四、减小或消除稳态误差的方法,前面的讨论表明，为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超过2，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可能不稳定。为了进一步减小系统稳态误差，还可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量（扰动必须是可以测量的），加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。,03:12,在下图所示系统中，为了消除由r(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量经补偿装置加到系统控制量中。此时系统误差信号的拉氏变换式为经整理得显然，如果选择补偿装置的传递函数为则系统的给定稳态误差为零。,注意：用梅逊公式可以直接写出传递函数,03:12,在下图所示系统中，为了消除由n(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置加到系统中，若设r(t)=0，则系统的输出-C(s)就是系统的误差信号。系统输出的拉氏变换式为经整理得显然，如果选择补偿装置的传递函数为,提问：E(s)应该放在a还是b处？为什么？,ab,要用好直接使用梅逊公式得到传递函数和输出表达式的基本功。,03:12,则可使输出不受扰动n(t)的影响，故系统的扰动稳态误差为零。从直观上看，当满足时，扰动信号经两条通道到达A点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了对扰动的全补偿。由于物理上可实现系统的传递函数总是满足分母的阶次大于或等于其分子的阶次，要求构造出分子的阶次大于或等于其分母阶次的补偿装置，这通常是不可能的。此外，由于传递函数的元件参数随着时间的推移也会发生变化，这就使得全补偿条件不可能成立。所以，实际上只能实现近似补偿。可以证明（有条件），前馈控制加入前后，系统的特征方程保持不变（前边的传递函数可直接看出），因此，系统的稳定性将不会发生变化。,03:12,五、动态误差及动态误差系数方法,前面研究的稳态误差主要讨论的是典型输入信号下的稳态误差，对于部分非典型信号（如正弦信号）下，求稳态误差的极限计算方法可能不能用。另外，我们可能还需要了解输出响应在进入稳态（tts)后变化的规律如何。这些问题用前面介绍的方法都不方便。因此，下面再介绍一种适应范围更广泛的方法：动态误差系数法（又称广义误差系数法）。（以给定稳态误差为例）,根据定义误差信号的拉氏变换式为：,将误差传递函数e（s）在s=0的邻域内展开成泰勒级数，得,03:12,得误差信号拉氏变换的一般表达式为：,在零初始条件下，对上述级数求拉氏反变换，得稳态误差随时间变化得函数关系如下：,定义,为动态误差系数。,03:12,特别称C0为动态位置误差系数；C1为动态速度误差系数；C2为动态加速度误差系数。,说明：“动态”二字的含意是指这种方法可以完整描述系统稳态误差ess(t)随时间变化的规律，而不是指误差信号中的瞬态分量变化的情况。因为上边的误差计算式只是在时间趋于无穷时才成立。如果输入信号r(t)中包含有随时间增长而趋于零的分量，则这一输入分量不应包含在误差级数中的输入信号及其各阶导数之内。,03:12,动态误差系数的计算方法：1.多项式除法：1）将分子多项式和分母多项式分别按升幂排列；2）用多项式除法逐项求出C0,C1,C2,2.泰勒公式直接求取法：利用定义式逐个计算。3.MATLAB辅助计算法：使用函数：taylor,taylortool.cof,fn,E=trerror(tfge,r,n),(动态误差及动态误差系数计算）kpva,Ess=ess(tf,r)。（典型信号及其组合的稳态误差）,03:12,例：已知单位反馈系统的开环传递函数为：,系统一：,系统二：,求动态误差系数。,解：根据公式得：,03:12,用长除法,系统一：,系统一动态误差系数：,C10=0C11=0.1C12=0.09C13=-0.019,03:12,用长除法,系统二：,系统二动态误差系数：,C20=0C21=0.1C22=0.19C23=-0.039,03:12,tfge=tf(1,1,0,1,1,10)r=1cof,fn,E=trerror(tfge,r,5),用MATLAB法:,03:12,Transferfunction:s2+s-s2+s+10r=1cof=00.10000.0900-0.0190-0.0071fn=1/10*s+9/100*s2-19/1000*s3-71/10000*s4E=1/10*Dirac(t)+9/100*Dirac(1,t)-19/1000*Dirac(2,t)-71/10000*Dirac(3,t),结果：,03:12,稳态误差小结：1.公式小结,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（1）基本公式,给定输入单独作用时,03:12,扰动单独作用时,给定输入和扰动共同作用时,（6）,（7）,（8）,（9）,（10）,（11）,03:12,（2）导出公式,03:12,2.方法小结：根据基本公式和各种典型输入型号进行讨论。,3.消除稳态误差的方法小结：（1）重点集中在前向通路最前端的传递函数中（如G1(s)中）。措施：a.增加稳态增益；b.增加积分环节的个数；（2）使用给定前馈补偿和扰动前馈补偿近似消除部分已知和可测信号造成的稳态误差。,03:12,4.稳态误差的计算方法(1).拉氏变换的终值定理当输入信号为时,可用终值定理计算静态误差,谐波(正弦,余弦)输入时不能应用此定理。(2).根据误差定义求稳态误差的方法a.求误差响应传递函数,03:12,b.误差响应的象函数c.误差响应的原函数d.求极值即为稳态误差。如系统同时存在输入信号和扰动信号,则系统误差的求法如下：,03:12,为系统对输入信号的误差传递函数,为系统对扰动信号的误差传递函数。则:,03:12,作业：3-15，3-16,03:12,例:已知系统的结构图如下,试求系统在输入信号r(t)=t和扰动信号n(t)=-1(t)同时作用下系统的稳态误差ess,举例：,03:12,解:理想情况偏差信号E(S)0，则系统在输入信号作用下的希望输出为：,注意：这里又是一种有意义的推导方法，即按输出定义的误差进行推导的方法,03:12,对于扰动信号N(s)而言,理想的情况就是扰动信号引起的输出为0,即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输出为:,03:12,则R(s)和N(s)引起的系统误差为:,用梅逊公式