人教版高三数学课件4.ppt

,第十单元平面解析几何,第一节直线与方程,基础梳理,1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角定义：当直线与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.倾斜角的范围为00,b0),则直线的方程为过点P(3,2),且a3.从而,故有当且仅当,即a=6时,等号成立.,此时.故直线的方程为,即2x+3y-12=0.,方法二：依题意知，直线的斜率存在.设直线的方程为y-2=k(x-3)(k0,-(a+1)=0,或a-20a-20，a-1.综上可知，a的取值范围是a-1.方法二：将的方程化为（x+y+2）+a(x-1)=0(aR).它表示过:x+y+2=0与:x-1=0的交点（1，-3）的直线系（不包括x=1).由图象可知的斜率为-(a+1)0,即当a-1时，直线不经过第二象限.,第二节直线的位置关系,基础梳理,1.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有特别地，当直线的斜率都不存在时，与的关系为平行.(2)两条直线垂直如果两条直线的斜率存在，分别设为,则一般地，若直线(不全为0)，直线(不全为0)，则且,与重合且,2.三种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式特别地，原点O（0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=(2)点到直线的距离点到直线:Ax+By+C=0的距离(3)两条平行线的距离两条平行线Ax+By+=0与Ax+By+=0间的距离,典例分析,题型一两条直线位置关系的判定和应用,【例1】已知直线:ax+2y+6=0和直线:x+(a-1)y+-1=0.(1)试判断与是否平行；（2）当时，求a的值.,分析可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系来判断求解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进行分类讨论；也可以运用一般式方程中的系数关系来判断或求解，这样可以避免讨论.,解（1）方法一：当a=1时，:x+2y+6=0,:x=0,不平行于;当a=0时，:y=-3,:x-y-1=0,不平行于;当a1且a0时，两直线可化为解得a=-1,综上可知,当a=-1时,否则与不平行.,方法二：由,得a(a-1)-12=0,由0,得a(-1)-160,a(a-1)-12=0，-a-2=0，a=-1a(-1)-160a(-1)6,故当a=-1时，否则与不平行.,（2）方法一：当a=1时,:x+2y+6=0,:x=0,与不垂直，故a=1不成立.当a1时，由方法二：由,得a+2(a-1)=0,学后反思(1)直线:,直线,“”的前提条件是,的斜率都存在，若不能确定斜率的存在性，应对其进行分类讨论：,当,中有一条存在斜率，而另一条不存在斜率时，与不平行；当,的斜率都不存在（与不重合）时,;当,均有斜率且时，.为避免分类讨论，可采用直线方程的一般式，利用一般式方程中的“系数关系”的形式来判断两直线是否平行，如本例方法二.（2）当时，可分斜率不存在与斜率存在，斜率存在时,有，如果利用可避免分类讨论.,举一反三,1.已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行，求a的值.,解析由a(2a-1)-a=0,得a=1或a=0.当a=1时，两方程为x-y+2=0与x+y+1=0，互相垂直；当a=0时，两方程为y=0与x=0，互相垂直.所以a=1或a=0即为所求.,解析当a-2=0或a=0时两直线显然不平行；当a-20且a0时，由,得a=-1或a=3.若a=-1,则成立,故a=-1（舍去）,则a=3.,2.已知直线ax-y+2a=0与（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，求a的值.,题型二距离问题,【例2】求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程.,分析设出所求直线的点斜式方程，运用待定系数法求直线的方程，但必须要注意斜率是否存在这个问题.,解过点A(-1,2)且垂直于x轴的直线不满足题意，设过点A(-1,2)的直线点斜式方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.原点到直线的距离等于,d=解得k=-1或k=-7,即所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.,学后反思（1）直线的点斜式方程不能代表垂直于x轴的直线，故要进行讨论.（2）使用点到直线的距离公式时，必须把直线方程化为一般式.,举一反三,3.与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于的直线方程是.,答案2x+3y+18=0或2x+3y-8=0,解析所求直线与直线:2x+3y+5=0平行，可设：2x+3y+C=0,由与距离为，得,解得C=18或C=-8,所求直线的方程为2x+3y+18=0或2x+3y-8=0.,题型三交点及直线系问题,【例3】求经过直线:3x+2y-1=0和:5x+2y+1=0的交点且垂直于直线:3x-5y+6=0的直线的方程.,分析本题可以先求交点坐标，然后由直线间位置关系求解，也可以先设出直线系方程，后代入点具体求解.,3x+2y-1=0,解方法一：由得,的交点P(-1,2).5x+2y+1=0,又的斜率的斜率k=-,:y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.方法二：由,可设:5x+3y+C=0.,的交点可以求得为P(-1,2).5(-1)+32+C=0,C=-1,:5x+3y-1=0.,方法三：过,的交点，故设:3x+2y-1+(5x+2y+1)=0，即（3+5）x+(2+2)y+(-1+)=0，,解得=,代入上式整理得:5x+3y-1=0.,学后反思三种解法都能比较迅捷地解决问题，但方法一、方法二都是在两直线的斜率存在的前提下进行的，如果其中含有字母参数之类的，则要进行分类讨论；运用直线系方程时，则必须对直线系中不包含的直线进行检验.因此，本题的三种解法应该是各有优缺点.,举一反三,4.已知两直线:x+2=0,:4x+3y+5=0,定点A(-1,-2),求过,的交点且与点A的距离等于1的直线.,解析方法一：,的交点为（-2，1）.若直线斜率存在，设所求的直线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.所求直线与点A(-1,-2)的距离为1,得k=-,代入,得所求直线的方程为4x+3y+5=0.若直线斜率不存在，即判断过点（-2，1）且与y轴平行的直线x=-2是否符合所求直线的条件.点A（-1，-2）到直线x=-2的距离为1，直线x=-2，即x+2=0也符合直线的要求，故所求直线的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.,方法二：,的交点为（-2，1），过,交点的直线系方程是（x+2）+(4x+3y+5)=0,是参数，化简得(1+4)x+3y+(2+5)=0，由,得=0.代入方程，得x+2=0.又直线系方程中不包含,应检验是否也符合所求的条件.点（-1，-2）到的距离为也符合要求，故所求直线的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.,题型四对称问题,【例4】(12分)光线沿直线:x-2y+5=0射入，遇直线:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.,分析本题用光学原理得入射光线与反射光线所在的直线关于直线对称，用对称点方法求出入射光线上一点P关于的对称点，再由两点式写出方程.,3x-2y+7=0,x=-1,解方法一：由得x-2y+5=0,y=2,即反射点M的坐标为(-1,2).2又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设点P关于直线的对称点为由PP,可知.4而PP的中点Q的坐标为,又Q点在上，联立解得,即P点坐标为.10反射光线过M(-1,2)和P根据直线的两点式方程,可得反射光线所在的方程为29x-2y+33=0.12,方法二：设直线x-2y+5=0上任意一点关于直线的对称点P(x,y),则3又PP的中点在上，,6由.9代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,即所求反射光线所在直线方程为29x-2y+33=0.12,学后反思比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转化为点关于直线的对称或点关于点的对称问题来解决的.其中，方法一通过求点关于直线的对称点坐标，用两点式方程求解；方法二则利用了轨迹思想求对称直线的方程，是求解曲线关于直线对称问题的通法.,举一反三,5.已知A(7,-4)关于直线的对称点为B（-5，6），则直线的方程是()A.5x+6y-11=0B.6x-5y-1=0C.6x+5y-11=0D.5x-6y+1=0,解析AB的中点（1，1）在直线上,又,即所求直线的斜率k=,所求直线的方程为y-1=(x-1),即6x-5y-1=0.,答案B,易错警示,【例】已知一直线经过点P(1,2)且与点A(2,3)和B（0，-5）距离相等，求此直线的方程.,错解方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0，,即k-1=k-7，解得k=4，所求直线方程为4x-y-2=0.方法二：由已知AB,又:y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0.,错解分析方法一中忽视了斜率可能不存在的情况，方法二中忽视了可以过AB中点的情况.,正解方法一：当斜率不存在时，直线方程为x=1,满足条件.当斜率存在时，解法同错解中“方法一”.方法二：当过AB中点时，直线方程为x=1.当AB时，解法同错解中“方法二”.综上,直线的方程为x=1或4x-y-2=0.,考点演练,10.(2009青岛模拟）平行四边形两邻边方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,对角线交点为（3，3），则另两边的方程为和.,解析方法一：所求直线与已知直线关于（3，3）中心对称，故方程为（6-x）+(6-y)+1=0和3(6-x)-(6-y)+4=0,即x+y-13=0和3x-y-16=0.,方法二：所求直线与已知直线分别平行，且过已知两直线的交点关于（3，3）的对称点.设:x+y+=0,:3x-y+=0.两已知直线的交点坐x+y+1=0,x=标满足解得3x-y+4=0,y=即,它关于（3，3）的对称点为将代入,，解得=-13,=-16.所以所求直线:x+y-13=0,:3x-y-16=0.,答案x+y-13=03x-y-16=0,11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0与x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形的其他三边所在的直线方程.,解析设与直线:x+3y-5=0平行的边所在的直线方程为:x+3y+c=0.2x-y+2=0，由得正方形的中心坐标P(-1,0),x+y+1=0由点P到两直线,的距离相等，得,解得c=-5或c=7(-5不合题意，舍去)，:x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线与垂直，设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.正方形中心到四条边的距离相等，解得a=9或a=-3,正方形的其他两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.正方形的其他三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.,12.光线从A(-3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（-1，6），求BC所在直线的方程.,解析方法一：如图所示，依题意，B点在原点O左侧，设其坐标为（a,0）,由反射角等于入射角，得1=2,3=4,又,即BC所在直线方程为y=(x-a),所以C点坐标为又,解得a=-,代入BC的方程,得5x-2y+7=0.,方法二：A关于x轴的对称点A(-3,-4),D关于y轴的对称点D(1,6),由光学知识知,A、B、C、D四点共线，且则BC所在的直线方程为5x-2y+7=0.,第三节圆的方程,基础梳理,1.圆的标准方程（1）方程表示圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程;（2）特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为.2.圆的一般方程方程+Dx+Ey+F=0可变形为（1）当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆;,（2）当=0时，方程表示一个点;(3)当r，所以点P在圆外.,学后反思（1）本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几何知识：圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言，在解析几何问题中，用上平面几何知识，会使解题变得相对简单.(2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系.,举一反三,1.求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.,解析圆经过点A(5,2),B(3,2),圆心在x=4上，又圆心在2x-y-3=0上，圆心为（4，5），可设圆的方程为,又圆过B(3,2)，即,，圆的方程为,题型二与圆有关的参数问题,【例2】(2009威海模拟）已知圆的方程为,要使过定点A（1，2）的圆的切线有两条.求a的取值范围.,分析(1)若方程表示圆，则0,即(2)由定点A的切线有两条，则点A一定在圆外.,解若表示圆，则应满足,即4-30,又点A应在圆外，则即+a+90,由得故a的取值范围是,学后反思(1)一般地，方程表示圆隐含着条件0.此点易被忽视.(2)若点在圆+Dx+Ey+F=0外，则,举一反三,2.已知圆的方程,要使圆的半径不大于且过定点A（1，2）的圆的切线有两条，求a的取值范围.,解析圆的方程可化为.由已知即解得0直线与圆相交；=0直线与圆相切；0直线与圆相离.3.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.4.弦长问题圆的弦长的计算：常用弦心距d,弦长一半a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：,典例分析,题型一直线与圆的位置关系,【例1】已知圆-6mx-2(m-1)y+10-2m-24=0(mR).(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线上；（2）与平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离.,分析（1）用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求圆心坐标，消去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.,解（1）证明：配方得x=3m,设圆心为（x,y），则消去m，得：x-3y-3=0,y=m-1,则不论m为何值，圆心恒在直线:x-3y-3=0上.(2)设与平行的直线是:x-3y+b=0,则圆心到直线的距离为,圆的半径为r=5,当dr,即b5-3时，直线与圆相离.,学后反思判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：（1）代数法：将直线方程与圆的方程联立，由所得一元二次方程根的判别式来判断.（2）几何法：确定圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断.实际应用中“几何法”要优于“代数法”.,举一反三,1.(2009启东调研）已知圆C：,直线:mx-y+1-m=0.（1）求证：无论m取什么实数，直线与圆C恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时的方程.,解析（1）证明：:mx-y+1-m=0的方程可化为y-1=m(x-1),其恒过定点P(1,1).PC=点P恒在圆C内，直线与圆C恒交于两点.（2）由（1）及平面几何知识知，当垂直于PC时，直线被圆C截得的弦长最小，又，所求直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.,题型二圆与圆的位置关系,【例2】已知圆：-2mx+4y+-5=0,圆:+2x-2my+-3=0,试就m的取值讨论两圆的位置关系.,分析先把两圆的方程化为标准方程，再求两圆的圆心距d，进而判断d与R+r,R-r的关系.,解圆,圆.两圆的圆心距.(1)当,即时,解得m=-5或m=2,故当m=-5或m=2时，两圆外切；,（2）当,即时,解得m=-2或m=-1,故当m=-2或m=-1时，两圆内切；（3）当,即-52时，两圆外离；（5）当,即-2b0)或(ab0),两个焦点分别为，则由题意知2a=,a=.,在方程中,令x=c,得y=.在方程中,令y=c,得x=.依题意知.即椭圆的方程为或.,方法二：设椭圆的两个焦点分别为,则由椭圆的定义，知2a=,即a=.由知，垂直于长轴.故在Rt中，,，于是.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为或.,学后反思(1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成(m0,n0).（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为,举一反三,若椭圆的两个焦点为(-4,0)、(4,0),椭圆的弦AB过,的周长为20，则该椭圆的方程为.,解析的周长为=2a+2a=4a=20,a=5,又c=4,b=3.椭圆的方程为,答案,题型二椭圆的几何性质,【例2】P为椭圆上任一点，为左、右焦点，如图所示.（1）若的中点为M，求证：|MO|=5-(2)若=60,求的值.,分析第（1）问中，由OM为的中位线，再结合椭圆几何性质即可得证；第（2）问中，已知=60，则可在中利用余弦定理求解.,解(1)证明：由椭圆方程知a=5,b=4,则c=3,又M、O为的中点，,(2)，两边平方得由余弦定理知即-得.,学后反思椭圆的几何性质是解决椭圆问题的基础，必须牢记，并体会由方程如何推得相关性质，体会解析几何的思想.第（1）小题即：以为直径的圆与以长轴为直径的圆始终内切.第（2）小题：令=,则可推出，进而推出,举一反三,已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，=60.求椭圆离心率的取值范围.,解析设椭圆方程为(ab0)，=m,=n.在中，由余弦定理可知，又(当且仅当m=n时取等号），即e，e的取值范围是,1).,题型三直线与椭圆的位置关系,【例3】(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.,分析(1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.,解（1）根据题意设椭圆的标准方程为(ab0),由已知得a+c=3,a-c=1,.1a=2,c=1,=3.椭圆的标准方程为.3,(2)设,y=kx+m，联立得，5则由题意,得,即，即7以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),即，解得m=-2k或m=-,且均满足10当m=-2k时,的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾；,当m=-时,的方程为y=k(x-),直线过定点(,0).所以直线过定点，定点坐标为(,0).12,学后反思(1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.,举一反三,3.若直线过圆+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C：于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线的方程.,解析设A,B的坐标分别为已知圆的方程为,所以圆心M的坐标为（-2，1），从,而可设直线的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程,得.因为A,B关于点M对称，所以,解得k=,所以直线的方程为y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0(经检验，所求直线方程符合题意).,题型四椭圆的实际应用,【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域.,分析建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.,解依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如图），则半椭圆方程为(y0),解得(0xr).其定义域为x09时，=k+8,=9,解得k=4.(2)若焦点在y轴上，即0k+89时，=9,=k+8,解得k=-.综上，k=4或k=-.,考点演练,10.经过椭圆的一个焦点作倾斜角为45的直线，交椭圆于A、B两点，设O为坐标原点，则等于.,解析设直线经过椭圆的右焦点（1，0），y=x-1,则直线的方程为y=x-1,由,得3-4x=0,解得x=0或x=,A(0,-1),=(0,-1)=-.,答案-,11.（2009广东改编）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和，椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆(kR)的圆心为点（1）求椭圆G的方程；（2）求的面积.,解析（1）依题意可设椭圆G的方程为（ab0），半焦距为c.椭圆G的离心率为，.椭圆G上一点到和的距离之和为12，2a=12a=6.,即椭圆G的方程为(2)圆的方程可化为,所以圆的圆心坐标为（-k,2），半径为.在中，底边的长|=2c=6,边上的高为2，故的面积,12.(2009山东枣庄)设直线：y=k(x+1)与椭圆(a0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.（1）证明：(2)若，求OAB的面积取得最大值时椭圆的方程.,解析（1）证明：依题意，直线显然不平行于坐标轴，故y=k(x+1)可化为x=y-1.将x=y-1代入，消去x,得.由直线与椭圆相交于两个不同的点，得=，化简整理得.（*）,(2)设由题意知C（-1,0）.由得.因为由,得.由、联立，解得.则OAB的面积上式取等号的条件是3=1,即k=.当k=时，由解得当k=-时，由解得,将k=,及k=-,分别代入，均可解出=5.经验证，=5,k=满足（*）式.所以，OAB的面积取得最大值时椭圆的方程是,第六节双曲线,基础梳理,1.双曲线的定义（1）平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：到两个定点的距离的差的绝对值等于常数2a;2a小于（2）上述双曲线的焦点是，焦距是.2.双曲线的标准方程和几何性质,3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为(0)，离心率e=，渐近线方程为y=x.,典例分析,题型一双曲线的定义及标准方程,【例1】已知动圆M与圆外切，与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程.,分析设动圆M的半径为r，则,则=定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程.,解如图，设动圆M的半径为r，则由已知得，.又(-4,0),(4,0),.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以(-4,0),(4,0)为焦点的双曲线的右支.a=,c=4,点M的轨迹方程是,学后反思（1）求动点的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，再用定义法或者参数法来求轨迹方程.（2）在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支.,举一反三,如图，已知圆A的方程为,定点C(3,0),求过定点C且和圆A外切的动圆的圆心P的轨迹方程.,解析依题意得|PA|-|PC|=2.又|PA|PC|,且|AC|=62.由双曲线的定义，知点P的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的右支，故点P的轨迹方程为(x1).,题型二双曲线的几何性质,【例2】已知双曲线的方程是.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且，求的大小.,分析将双曲线方程先化为标准方程，求出a、b、c，则（1）题即可解决；（2）题可利用双曲线定义及三角形余弦定理求解.,解（1）由，得,a=3,b=4,c=5，焦点坐标(-5,0),(5,0),离心率e=，渐近线方程为y=x.(2),学后反思（1）双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”、“方程观点”、“直接法和待定系数法求曲线方程”、“数形结合”等.（2）双曲线的几何性质同样要与椭圆进行类比和区分，除常见性质外，也要注意以下结论：过双曲线的焦点F作垂直于实轴的弦PQ，|PQ|=2，这样的弦称为双曲线的通径.可证：在双曲线的焦点弦中，若弦的两端在双曲线同一支上，以通径的长为最短；若弦的两端在两支上，以实轴的长2a为最短.双曲线上任一点P，焦点为，若=，则,举一反三,2.设双曲线(0ab)的半焦距为c，直线过(a,0),(0,b)两点，且原点到直线的距离为c，求双曲线的离心率.,解析由过两点（a,0)、(0,b),得的方程为bx+ay-ab=0.由原点到的距离为c,得.将代入，平方后整理,得令=x,则16-16x+3=0，解得x=或x=.由e=，得e=，故e=或e=2.00时，方程化为,得k=6.当k0,b0),因渐近线的方程为y=x，并且焦点都在圆上，a=6，解得b=8，双曲线的方程为.,当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为（a0,b0），因渐近线的方程为y=x，并且焦点都在圆上，a=8,解得b=6,双曲线的方程为综上,双曲线的方程为和.,方法二：设双曲线的方程为(0),从而有，解得=576,所以双曲线的方程为和,第七节抛物线,基础梳理,1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质（如下表所示）,典例分析,题型一抛物线的定义及应用,【例1】已知抛物线=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标.,分析抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离d，求|PA|+|PF|的问题可转化为|PA|+d的问题,运用三点共线可使问题得到解决.,解将x=3代入抛物线方程=2x,得y=.2,点A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线:x=-的距离为d，由定义,知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA时，|PA|+d最小，最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入=2x，得x=2，即点P的坐标为（2，2）.,学后反思灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是抛物线定义的重要应用.,举一反三,1.若例题中点A的坐标变为（2，3），求|PA|+|PF|的最小值.,解析将x=2代入抛物线方程,得y=2，32,点A在抛物线的外部.|PA|+|PF|AF|=，A、P、F三点共线时有最小值，最小值为.,题型二抛物线的几何性质和标准方程,【例2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.,分析因点A（m,-3）在直线y=-3上，所以抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情况，必须分类讨论.,解(1)若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为=-2py(p0),这时准线方程为y=,由抛物线定义知-(-3)=5，解得p=4,此时，抛物线方程为=-8y.将点A（m,-3)代入方程，得m=2.,(2)若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为=2ax(a0)，从p=|a|知准线方程可统一成x=-的形式，于是依题设有解此方程组可得四组解,学后反思抛物线的标准方程有四种，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，需分情况讨论，此时，可设为=ay(a0)或=ax(a0)，以减少讨论次数和运算量，然后利用待定系数法和已知条件求解.,举一反三,2.求过点（-3，2）的抛物线的标准方程.,解析当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线方程为=-2px(p0).由抛物线过（-3，2）,知=-2p(-3),解得p=.所以所求的抛物线方程为.当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线方程为=2py(p0).由抛物线过（-3，2），知=4p，解得p=.所以所求的抛物线方程为=y.,题型三直线与抛物线,【例3】(12分)已知过抛物线=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于两点.求证：（1）为定